| Stron : [1] 2 3 4 . . . 10 Dalej |
|
barjak
|
#1
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:09:20
|
matematika -tehnicki fakultet
Predgovor
Ova knjiga namijenjena je studentima tehni¡ckih i prirodnih znanosti, a
u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
u Splitu (FESB). U njoj je izlo¡zeno gradivo kolegija ”Matematika 1” po
sadr¡zaju koji se predaje na FESB-u. Obradena su poglavlja Osnove matematike,
Linearna algebra, Vektorska algebra i analiti¡cka geometrija, Funkcije
realne varijable, Derivacije i primjene, te Nizovi i redovi. Sli¡can sadr¡zaj nalazi
se u ve´cini istoimenih kolegija koji se predaju na tehni¡ckim i prirodoslovnim
fakultetima.
Budu´ci se radi o standardnom sadr¡zaju, nije citirana posebna literatura.
Spomenut ´cu samo neke od knjiga koje su utjecale na sadr¡zaj, a koje preporu
¡cujem i ¡citatelju:
D. Blanu¡sa, Vi¡sa matematika, I. dio (1. i 2. svezak), Tehni¡cka knjiga,
Zagreb, 1973.
L. Krni´c i Z. ¡Siki´c, Ra¡cun diferencijalni i integralni, I. dio, ¡Skolska knjiga,
Zagreb, 1992.
N. Ugle¡si´c, Predavanja iz matemati¡cke analize I, Svu¡cili¡ste u Splitu, Split,
1989.
B. P. Demidovi´c, Zadaci i rije¡seni primjeri iz vi¡se matematike, Tehni¡cka
knjiga, Zagreb, 1978.
U izradi ovog ud¡zbenika takoder je kori¡steno iskustvo i zabilje¡ske biv¡sih i
sada¡snjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujem
svoju zahvalnost. Za pa¡zljivo ¡citanje teksta i korisne primjedbe tijekom rada
zahvaljujem se kolegi Marku Mati´cu.
U Splitu, rujna 2002.
|
|
|
barjak
|
#2
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:10:18
|
osnove matematike
1.
OSNOVE MATEMATIKE
1.1 Osnove matemati¡cke logike . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Binarne relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Uredeni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Teorem o inverznoj funkciji . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Ekvipotencija i beskona¡cni skupovi . . . . . . . . . . 9
1.4 Prirodni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Brojevni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Uredaj na skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Binomni pou¡cak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.1 Aritmetika ra¡cunala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.2 Apsolutna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Kompleksni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.1 Trigonometrijski oblik . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8.2 Eksponencijalni oblik . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
|
|
barjak
|
#3
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:11:04
|
osnove matematike
2 OSNOVE MATEMATIKE
U ovoj glavi prvo ´cemo definirati osnovne pojmove matemati¡cke logike koji
su potrebni za pra´cenje predavanja. Zatim ´cemo dati neke pojmove vezane
uz skupove te detaljnije definirati pojam relacije, kao i razne tipove relacija
na skupovima. Takoder ´cemo vrlo op´cenito definirati pojam funkcije te dati
teorem o inverznoj funkciji. Na kraju, razmatrat ´cemo detaljnije skupove
prirodnih, cijelih, racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva.
1.1 Osnove matemati¡cke logike
U ovom poglavlju definirat ´cemo pojam suda, osnovne operacije sa sudovima,
pojam predikata te vrste kvantifikatora.
Definicija 1.1 Sud je svaka smislena izjava koja mo¡ze biti samo istinita ili
neistinita, odnosno la¡zna.
Primjer 1.1 ” Je li danas ¡cetvrtak?” nije sud nego pitanje. ” Jutro je pametnije
od ve¡ceri” nema smisla kao izjava, osim u prenesenom zna¡cenju, pa nije
sud. ”Danas je ¡cetvrtak” je sud koji je istinit ili neistinit, ve´c prema danu u
kojem se izgovara. ” Svaki brod je jedrenjak” je neistinit sud.
Istinitost suda A ozna¡cimo s (A). Pri tome (A) = ⊤ zna¡ci A je istinit,
a (A) = ⊥ zna¡ci A je neistinit. Osnovne operacije sa sudovima i njihove
tablice istinitosti su:
– konjunkcija, A ∧ B, [A i B],
(A) (B) (A ∧ B)
⊤ ⊤ ⊤
⊤ ⊥ ⊥
⊥ ⊤ ⊥
⊥ ⊥ ⊥
– disjunkcija, A ∨ B, [A ili B],
(A) (B) (A ∨ B)
⊤ ⊤ ⊤
⊤ ⊥ ⊤
⊥ ⊤ ⊤
⊥ ⊥ ⊥
– ekskluzivna disjunkcija, A ⊻ B, [ili A ili B],
|
|
|
barjak
|
#4
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:11:53
|
osnove matematike
1.1 Osnove matemati¡cke logike 3
(A) (B) (A ⊻ B)
⊤ ⊤ ⊥
⊤ ⊥ ⊤
⊥ ⊤ ⊤
⊥ ⊥ ⊥
– implikacija, A ⇒ B, [A povla¡ci B; iz A slijedi B; A je dovoljan uvjet za
B; B je nu¡zan uvjet za A],
(A) (B) (A ⇒ B)
⊤ ⊤ ⊤
⊤ ⊥ ⊥
⊥ ⊤ ⊤
⊥ ⊥ ⊤
– ekvivalencija, A ⇔ B, [A je ekvivalentno s B; A je ako i samo ako je B;
A je nu¡zan i dovoljan uvjet za B],
(A) (B) (A ⇔ B)
⊤ ⊤ ⊤
⊤ ⊥ ⊥
⊥ ⊤ ⊥
⊥ ⊥ ⊤
– negacija, ¬A, [ne A; non A],
(A) (¬A)
⊤ ⊥
⊥ ⊤
Za sudove A, B i C vrijede DeMorganovi zakoni,
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B,
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B,
i zakoni distribucije,
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C),
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).
Zadatak 1.1 Dajte primjere za osnovne operacije sa sudovima i protuma¡cite
tablice istinitosti. Dajte primjere za DeMorganove zakone i zakone distribucije.
|
|
|
barjak
|
#5
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:12:39
|
osnove matematike
4 OSNOVE MATEMATIKE
Definicija 1.2 Otvorena re¡cenica ili predikat je izjavna re¡cenica koja sadr¡zi
parametre i koja postaje sud kada parametri poprime odredenu vrijednost.
Na primjer, predikat x je roden prije y postaje sud kada su x i y dvije
osobe. Predikat s dvije varijable ozna¡cavamo s P(x, y).
Kod izra¡zavanja pomo´cu predikata koristimo kvantifikatore:
– univerzalni, (∀x)P(x), odnosno za svaki x je P(x), i
– egzistencijalni, (∃x)P(x), odnosno postoji x takav da je P(x) te (∃!x)P(x),
odnosno postoji to¡cno jedan x takav da je P(x).
Primjer 1.2 a) Neka je P(x, y) = x je roden prije y. Tada vrijedi
[(∀x)(∃y) P(x, y)] = ⊤,
[(∀y)(∃x) P(x, y)] = ⊤,
[(∀y)(∃!x) P(x, y)] = ⊥.
b) Neka P(x) glasi x2 = 4. Tada vrijedi
[(∀x ∈ R) P(x)] = ⊥,
[(∃x ∈ R) P(x)] = ⊤,
[(∃!x ∈ R) P(x)] = ⊥,
[(∃!x ∈ N) P(x)] = ⊤.
1.2 Binarne relacije
U ovom poglavlju definirat ´cemo partitivni skup, Kartezijev produkt skupova
i binarnu relaciju te dati klasifikaciju binarnih relacija.
Skup je pojam koji se ne definira. Skup je zadan svojim elementima. Na
primjer, skup S = {x, y, z,w} ima elemente x, y, z i w. Tu ¡cinjenicu zapisujemo
s
x ∈ S, y ∈ S, z ∈ S, w ∈ S,
dok, recimo, t /∈ S. S ∅ ozna¡cavamo prazan skup, odnosno skup bez elemenata.
Zadatak 1.2 Ponovite pojmove podskupa, nadskupa, unije skupova, presjeka
skupova i razlike skupova te osnovna svojstva tih operacija.
Partitivni skup skupa X je skup 2X ¡ciji su elementi svi podskupovi skupa
X. Na primjer, ako je X = {a, b, c}, tada je
2X = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Dakle, uvijek je ∅ ∈ 2X i X ∈ 2X.
|
|
|
barjak
|
#6
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:13:47
|
binarne relacije
1.2 Binarne relacije 5
Definicija 1.3 Direktni produkt ili Kartezijev produkt skupova X i Y je skup
svih uredenih parova (x, y), gdje je x ∈ X i y ∈ Y , odnosno
X × Y = {(x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y }.
Na primjer, ako je X = {1, 2, 3} i Y = {a, b}, tada je
X × Y = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}.
Takoder, X × ∅ = ∅ za svaki skup X.
Definicija 1.4 Binarna relacija na skupu X je svaki podskup R ⊆ X × X.
Ako je uredeni par (x, y) ∈ R, ka¡zemo da je x u relaciji R s y, i pi¡semo xRy
ili R(x, y). Binarna relacija je:
– refleksivna ako je xRx za svaki x ∈ X;
– simetri¡cna ako xRy ⇒ yRx;
– tranzitivna ako (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz;
– relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetri¡cna i tranzitivna.
Na primjer, neka je X skup ljudi i neka je (x, y) ∈ R ako su x i y rodeni
istog dana. O¡cito vrijedi
xRx, xRy ⇒ yRx, (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz,
pa je R relacija ekvivalencije.
Napomena 1.1 Relacija ekvivalencije na skupuX cijepa taj skup na medusobno
disjunktne podskupove, takozvane klase ekvivalencije. Skup X se mo¡ze na jedinstven
na¡cin prikazati kao unija tih klasa ekvivalencije.
1.2.1 Uredeni skupovi
U ovom poglavlju definirat ´cemo relaciju parcijalnog uredaja i uredeni
skup te pojmove kao ¡sto su gornja meda, donja meda, infimum, supremum,
minimum i maksimum. Izreku (∀x ∈ X)(∀y ∈ X) kra´ce ´cemo zapisati kao
∀x, y ∈ X.
Definicija 1.5 Relacija parcijalnog uredaja ≤ na skupu X je svaka binarna
relacija na skupu X koje je refleksivna, tranzitivna i anti-simetri¡cna, odnosno
(x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y.
Ako je x ≤ y i x 6= y, pi¡semo x < y. Takoder, x ≤ y mo¡zemo pisati i kao
y ≥ x. Ako su, dodatno, svaka dva elementa skupa X u relaciji, odnosno
∀x, y ∈ X vrijedi x ≤ y ∨ y ≤ x, tada je ≤ relacija potpunog uredaja, a X je
ureden skup.
|
|
|
barjak
|
#7
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:14:34
|
osnove matematike
6 OSNOVE MATEMATIKE
Na primjer, skup ljudi je potpuno ureden s relacijom ≤ koju definiramo
kao
x ≤ y ⇔ x nije stariji (vi¡si,lak¡si) od y.
Naravno, skupovi N, Z, Q i R su potpuno uredeni sa standardnom relacijom
uredaja ≤. Ako je (X,≤) ureden skup, zatvoreni interval definiramo kao
[a, b] = {x ∈ X : a ≤ x ≤ b},
a otvoreni interval definiramo kao
(a, b) = {x ∈ X : a < x < b}.
Sli¡cno definiramo i poluotvorene intervale, (a, b] i [a, b), kao i skupove tipa
[a, ·) = {x ∈ X : a ≤ x}.
Definicija 1.6 Neka je (X,≤) ureden skup i A neprazan podskup od X.
(i) Element m ∈ X je donja meda skupa A ako ∀a ∈ A vrijedi m ≤ a. Skup
A je omeden odozdo ako ima barem jednu donju medu. Najve´ca donja
meda ili infimum skupa A je element inf A ∈ X sa svojstvima:
– inf A je donja meda od A;
– za svaku donju medu m skupa A vrijedi m ≤ inf A.
Najmanji element ili minimum skupa A je element minA ∈ A koji je
ujedno i donja meda skupa A.
(ii) Element M ∈ X je gornja meda skupa A ako ∀a ∈ A vrijedi a ≤ M.
Skup A je omeden odozgo ako ima barem jednu gornju medu. Najmanja
gornja meda ili supremum skupa A je element supA ∈ X sa svojstvima:
– supA je gornja meda od A;
– za svaku gornju medu M skupa A vrijedi supA ≤ M.
Najve´ci element ili maksimum skupa A je element maxA ∈ A koji je
ujedno i gornja meda skupa A.
Neka je, na primjer X = N i A = {5, 6, 7, 8} ⊆ N. Donje mede skupa A
su brojevi 1, 2, 3, 4 i 5. Najve´ca donja meda je inf A = 5, a kako je 5 ∈ A,
to je i minA = 5. Nadalje, gornje mede skupa A su brojevi 8, 9, 10, 11, . . ., a
supA = maxA = 8.
Razliku izmedu infimuma i minimuma mo¡zemo ilustrirati na skupu realnih
brojeva. Neka je, dakle, X = R i A = (4, 8] ⊆ R. Donje mede skupa A su
svi brojevi manji ili jednaki ¡cetiri, pa je inf A = 4, dok A nema minimum. S
|
|
|
barjak
|
#8
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:15:19
|
funkcije
1.3 Funkcije 7
druge strane, gornje mede skupa A su svi brojevi ve´ci ili jednaki osam i vrijedi
supA = maxA = 8.
Primijetimo da su infimum, supremum, minimum i maksimum jedinstveni
(ukoliko postoje). Zaista, neka je m1 = inf A i m2 = inf A. Prema definiciji
1.6, elementi m1 i m2 su takoder donje mede skupa A, odnosno
m1 ≤ m2 = inf A i m2 ≤ m1 = inf A,
pa iz definicije 1.5 slijedi m1 = m2.
1.3 Funkcije
U ovom poglavlju dat ´cemo osnovne pojmove vezane uz funkcije i klasifi-
kaciju funkcija, dokazati va¡zan teorem o inverznoj funkciji te definirati ekvipotentnost
skupova i beskona¡cne skupove.
Definicija 1.7 Funkcija ili preslikavanje iz skupa X u skup Y je svako pravilo
f po kojemu se elementu x ∈ X pridru¡zuje jedinstveni element y ∈ Y .
Koristimo oznake
f : X → Y ili y = f(x).
Skup X je podru¡cje definicije ili domena funkcije f, skup Y je podru¡cje vrijednosti
ili kodomena funkcije f, x je nezavisna varijabla ili argument funkcije f, a
y je zavisna varijabla funkcije f. Skup svih vrijednosti nezavisne varijable x za
koje je funkcija doista definirana jo¡s ozna¡cavamo s Df , a skup svih vrijednosti
koje poprima zavisna varijabla ozna¡cavamo s Rf i zovemo slika funkcije,
Rf = {y ∈ Y : (∃x ∈ Df ) takav da je y = f(x)} ⊆ Y.
Nakon ¡sto smo definirali novi matemati¡cki objekt, u ovom slu¡caju funkciju,
potrebno je definirati kada su dva objekta jednaka.
Definicija 1.8 Funkcije f i g su jednake, odnosno f = g, ako vrijedi
Df = Dg ∧ f(x) = g(x) za ∀x ∈ Df .
Na primjer, funkcije f(x) = x i g(x) =
x2
x
nisu jednake jer je Df = R, dok
je Dg = R {0}.
Definicija 1.9 Kompozicija funkcija f : X → Y i g : V → Z, gdje je Rf ⊆ V ,
je funkcija h : X → Z definirana s h(x) = g(f(x)). Jo¡s koristimo oznaku
h = g ◦ f.
|
|
|
barjak
|
#9
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:16:00
|
funkcije
8 OSNOVE MATEMATIKE
Kompozicija funkcija je asocijativna, odnosno
h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.
Zaista, za proizvoljni x za koji je kompozicija definirana vrijedi
(h ◦ (g ◦ f))(x) = h((g ◦ f)(x)) = h(g(f(x)))
= (h ◦ g)(f(x)) = ((h ◦ g) ◦ f)(x)
pa tvrdnja slijedi iz definicije jednakosti funkcija 1.8.
Definicija 1.10 Ako je Dg ⊆ Df i g(x) = f(x) za svaki x ∈ Dg, funkcija
g je restrikcija ili su¡zenje funkcije f, a funkcija f je ekstenzija ili pro¡sirenje
funkcije g.
Na primjer, funkcija g(x) = x2/x je restrikcija funkcije f(x) = x na skup
Dg = R {0}, odnosno g = f |Dg , a funkcija f je ekstenzija funkcije g.
Primijetimo da je restrikcija uvijek jedinstvena, dok ekstenzija to nije. Tako
je u ovom slu¡caju i funkcija f1 : R → R {0} definirana s
f1(x) = (x, za x 6= 0
1, za x = 0
jedna od beskona¡cno mogu´cih ekstenzija funkcije g.
1.3.1 Teorem o inverznoj funkciji
Prvo ´cemo definirati neke klase funkcija.
Definicija 1.11 Funkcija f : X → Y je:
– surjekcija ili preslikavanje na ako je Rf = Y ;
– injekcija ili 1-1 preslikavanje ako f(x) = f(x′) ⇒ x = x′ za sve x, x′ ∈
Df ;
– bijekcija ili obostrano jednozna¡cno preslikavanje ako je surjekcija i injekcija.
Jedan primjer bijekcije je identiteta, odnosno funkcija iX : X → X definirana
s iX(x) = x za svaki x ∈ X.
Teorem 1.1 Funkcija f : X → Y , gdje je X = Df , je bijekcija ako i samo
ako postoji funkcija g : Y → X takva da je g ◦ f = iX i f ◦ g = iY , gdje su
iX i iY odgovaraju´ce identitete. Funkcija g je jedinstvena, a zove se inverzna
funkcija funkcije f i ozna¡cava s f−1.
|
|
|
barjak
|
#10
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:16:34
|
funkcije
1.3 Funkcije 9
Dokaz. Potrebno je dokazati oba smjera tvrdnje teorema. Neka je f bijekcija.
Potrebno je konstruirati funkciju g s tra¡zenim svojstvima. Definicija 1.11
povla¡ci
(∀y ∈ Y )(∃!x ∈ X) takav da je y = f(x).
Stoga mo¡zemo definirati funkciju g : Y → X pravilom
g(y) = x ¡cim je y = f(x).
Za svaki x ∈ X vrijedi g(f(x)) = g(y) = x pa je g ◦ f = iX. Sli¡cno, za svaki
y ∈ Y vrijedi f(g(y)) = f(x) = y pa je f ◦ g = iY i prvi smjer je dokazan.
Doka¡zimo drugi smjer tvrdnje teorema. Neka postoji funkcija g s tra¡zenim
svojstvima. Potrebno je pokazati da je f bijekcija. Odaberimo proizvoljni
y ∈ Y . Neka je x = g(y). Svojstva funkcije g povla¡ce
f(x) = f(g(y)) = (f ◦ g)(y) = iY (y) = y.
Zaklju¡cujemo da je svaki element y ∈ Y slika nekog elementa x ∈ X pa je f
surjekcija. Doka¡zimo da je f injekcija. Zaista, ako je f(x) = f(x′), tada je
x = iX(x) = g(f(x)) = g(f(x′)) = iX(x′) = x′.
Dakle, f je bijekcija te smo dokazali i drugi smjer tvrdnje teorema.
Na kraju doka¡zimo jedinstvenost funkcije g. Pretpostavimo da postoje
dvije funkcije s tra¡zenim svojstvima, g i g1. Za svaki y ∈ Y vrijedi
g(y) = x = iX(g(y)) = (g1 ◦ f)(g(y)) = g1(f(g(y))) = g1(iY (y)) = g1(y)
pa je g = g1 prema definiciji 1.8.
1.3.2 Ekvipotencija i beskona¡cni skupovi
Zbog svojstava bijekcije prirodna je sljede´ca definicija: skupovi X i Y su
ekvipotentni, odnosno imaju jednako mnogo elemenata, ako postoji bijekcija
izmedu ta dva skupa.
Ekvipotencija je o¡cito relacija ekvivalencije na skupovima. Klasa ekvivalencije
kojoj pripada skup X zove se kardinalni broj skupa X i ozna¡cava s
kardX.
Definicija 1.12 Skup X je beskona¡can, odnosno ima beskona¡cno mnogo elemenata,
ako je ekvipotentan sa svojim pravim podskupom. Skup X je kona¡can
ako nije beskona¡can.
Na primjer, skup prirodnih brojeva N je beskona¡can, jer je funkcija f(n) =
2n bijekcija izmedu skupa prirodnih brojeva i skupa svih parnih brojeva.
Dakle, zanimljivo je da parnih brojeva ima jednako mnogo kao i svih prirodnih
brojeva. To o¡cito ne vrijedi samo za parne brojeve; i skup svih brojeva
koji su djeljivi s tisu´cu takoder ima jednako mnogo elemenata kao i skup N.
|
|
|
barjak
|
#11
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:17:28
|
osnove matematike
10 OSNOVE MATEMATIKE
1.4 Prirodni brojevi
U ovom poglavlju definirat ´cemo skup prirodnih brojeva N, osnovne ra¡cunske
operacije na tom skupu i njihova svojstva te relaciju potpunog uredaja. Posebnu
pa¡znju posvetit ´cemo principu matemati¡cke indukcije i njegovoj primjeni
na dokazivanje binomnog pou¡cka. Ponovit ´cemo i neke na¡cine zapisivanja elemenata
skupa N.
Definicija 1.13 Skup prirodnih brojeva N je skup koji zadovoljava ¡cetiri Peanova
aksioma:
P1. postoji funkcija sljedbenika s : N → N;
P2. s je injekcija;
P3. postoji barem jedan element 1 ∈ N koji nije ni¡ciji sljedbenik, odnosno
s(n) 6= 1 za svaki n ∈ N;
P4. ako je M ⊆ N i ako vrijedi
(i) 1 ∈ M,
(ii) n ∈ M ⇒ s(n) ∈ M,
tada je M = N.
Aksiom P4 zove se princip matemati¡cke indukcije.
Operacije na skupu N definiramo na sljede´ci na¡cin:
– zbrajanje je funkcija + : N × N → N sa svojstvima
m + 1 = s(m) ∧ m + s(n) = s(m + n), ∀m, n ∈ N;
– mno¡zenje je funkcija · : N × N → N sa svojstvima
m · 1 = m ∧ m · s(n) = (m · n) + m, ∀m, n ∈ N;
Dva va¡zna teorema navodimo bez dokaza.
Teorem 1.2 Postoji to¡cno jedan skup sa svojstvima iz definicije 1.13. Funkcije
+ i · jedine su funkcije s gornjim svojstvima.
Ovaj teorem zapravo ka¡ze da se uvijek radi o istom skupu N bez obzira
na to kako ozna¡cavamo njegove elemente. Razni na¡cini ozna¡cavanja prirodnih
brojeva dani su u poglavlju 1.4.1.
|
|
|
barjak
|
#12
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:18:21
|
prirodni brojevi
1.4 Prirodni brojevi 11
Teorem 1.3 Mno¡zenje i zbrajanje imaju sljede´ca svojstva: za sve m, n, p ∈ N
vrijedi
(i) asocijativnost, odnosno
(m + n) + p = m + (n + p), (m · n) · p = m · (n · p);
(ii) komutativnost, odnosno
m + n = n + m, m · n = n ·m;
(iii) distributivnost, odnosno
m · (n + p) = m · n + m · p, (m + n) · p = m · p + n · p;
(iv) m + n = m + p ⇒ n = p, m · n = m · p ⇒ n = p;
(v) m + n 6= m.
Princip matemati¡cke indukcije P4 iz definicije 1.13 koristimo za dokazivanje
raznih korisnih tvrdnji. U poglavlju 1.4.3 taj princip ´cemo koristiti za
dokazivanje binomnog pou¡cka, a sada navodimo sljede´ci primjer.
Primjer 1.3 Doka¡zimo formulu
n
Xi=1
i = 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n =
n(n + 1)
2
, ∀n ∈ N.
Neka je M skup svih prirodnih brojeva za koje formula vrijedi. Koriste´ci
princip matemati¡cke indukcije dokazat ´cemo da je M = N. Za n = 1 formula
o¡cito vrijedi. Stoga je 1 ∈ M i tako je ispunjen uvjet (i) aksioma P4. Ovaj
uvjet zove se baza indukcije. Poka¡zimo da je ispunjen i uvjet (ii) aksioma P4,
odnosno korak indukcije. Ako je n ∈ M, odnosno ako formula vrijedi za n,
tada je
n+1
Xi=1
i = n
Xi=1
i!+ n + 1 =
n(n + 1)
2
+ n + 1 =
n2 + n + 2n + 2
2
=
(n + 1)(n + 2)
2
.
Dakle, n + 1 ∈ M pa aksiom P4 povla¡ci M = N, odnosno formula vrijedi za
svaki n ∈ N.
|
|
|
barjak
|
#13
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:19:01
|
osnove matematike
12 OSNOVE MATEMATIKE
Decimalni
sustav
Rimski
brojevi
Binarni
sustav
Oktalni
sustav
Heksa-
decimalni
sustav
1 I 1 1 1
s(1) = 1 + 1 = 2 II 10 2 2
s(2) = 2 + 1 = 3 III 11 3 3
s(3) = 3 + 1 = 4 IIII ili IV 100 4 4
5 V 101 5 5
6 VI 110 6 6
7 VII 111 7 7
8 VIII 1000 10 8
9 IX 1001 11 9
10 X 1010 12 A
11 XI 1011 13 B
12 XII 1100 14 C
13 XIII 1101 15 D
14 XIV 1110 16 E
15 XV 1111 17 F
16 XVI 10000 20 10
Tablica 1.1: Brojevni sustavi
1.4.1 Brojevni sustavi
Elemente skupa prirodnih brojeva ozna¡cavamo na razne na¡cine, neki od
kojih su dani u tablici 1.1.
Kod rimskih brojeva oznaka V za broj pet zapravo simbolizira ruku koja
ima pet prstiju, dok oznaka X za broj deset simbolizira dvije ruke. Ra¡cunala
zbog tehni¡ckih mogu´cnosti kreiranja samo dvaju stabilnih stanja (prekida¡c)
koriste sustav s bazom 2, odnosno binarni sustav. Radi lak¡seg baratanja s
binarnim brojevima koriste se oktalni sustav s bazom osam i heksadecimalni
sustav s bazom 16. Iz babilonskih vremena smo naslijedili heksagezimalni sustav
s bazom 60. Danas dijelove tog sustava koristimo za prikazivanja vremena
(1 sat=60 minuta= 60 · 60 sekunda) i kutova. U trgovini se takoder koristi
i sustav s bazom 12. Taj sustav je prakti¡can jer je broj 12 djeljiv s dva, tri,
¡cetiri i ¡sest. Koli¡cinu 12 ¡cesto zovemo tucet ili duzina.
1.4.2 Uredaj na skupu prirodnih brojeva
Uredaj definiramo na sljede´ci na¡cin.
Definicija 1.14 Neka su m, n ∈ N. Tada je m manji od n, odnosno m < n,
ako i samo ako postoji p ∈ N za koji je m + p = n. Nadalje, m je manje ili
jednako n, odnosno m ≤ n, ako vrijedi m < n ili m = n.
|
|
|
barjak
|
#14
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:19:45
|
prirodni brojevi
1.4 Prirodni brojevi 13
S ovako definiranom relacijom potpunog uredaja N je ureden skup po de-
finiciji 1.5. U skladu s poglavljem 1.2.1 mo¡zemo definirati intervale
[1, n]N = {p ∈ N : 1 ≤ p ≤ n} = {1, 2, . . . , n}.
Posebno je [1, ·)N = {1, 2, 3, . . .} = N.
Sljede´ca definicija nadopunjava definicije iz poglavlja 1.3.2.
Definicija 1.15 Skup X ima n elemenata, odnosno kardX = n, ako je X
ekvipotentan s [1, n]N. Skup X je prebrojiv ili prebrojivo beskona¡can, odnosno
kardX = ℵ0 (alef nula), ako je ekvipotentan s N.
Skup prirodnih brojeva (N,≤) je diskretan ili diskretno ureden, odnosno za
svaki n ∈ N vrijedi {p ∈ N : n < p < n + 1} = ∅. Ovo svojstvo ´ce biti jasnije
kada u poglavljima 1.6 i 1.7 opi¡semo guste skupove Q i R.
1.4.3 Binomni pou¡cak
U ovom poglavlju definirat ´cemo permutaciju i kombinaciju, opisati Pascalov
trokut i dokazati binomni pou¡cak i neke njegove posljedice.
Definicija 1.16 Permutacija n-tog reda je svaka bijekcija s [1, n]N u [1, n]N.
Kombinacija n-tog reda i k-tog razreda je svaki k-¡clani podskup {i1, i2, . . . , ik} ⊆
[1, n]N. Pri tome je dopu¡sten i slu¡caj k = 0.
U teoremu 2.7 je dokazano da skup svih razli¡citih permutacija n-tog reda
ima n! elemenata (n faktorijela). Faktorijele su definirane rekurzivno s
(n + 1)! = n!(n + 1) uz dogovor 0! = 1,
ili kao funkcija f : N → N zadana s
f(1) = 1, f(n + 1) = f(n) · (n + 1).
Teorem 1.4 Broj razli¡citih kombinacija n-tog reda i k-tog razreda Kk
n jednak
je binomnom koeficijentu
n
k =
n!
k!(n − k)!
.
Dokaz. Svaku permutaciju n-tog reda mo¡zemo dobiti u tri koraka:
1. odaberemo jedan k-¡clani podskup od [1, n]N, ¡sto mo¡zemo u¡ciniti na Kk
n
na¡cina;
|
|
|
barjak
|
#15
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:20:20
|
osnove matematike
14 OSNOVE MATEMATIKE
2. odaberemo jednu permutaciju tog podskupa, ¡sto mo¡zemo u¡ciniti na k!
na¡cina;
3. odaberemo jednu permutaciju preostalog (n−k)-¡clanog podskupa, ¡sto mo¡zemo
u¡ciniti na (n − k)! na¡cina.
Ukupan broj permutacija n-tog reda stoga je jednak
n! = Kk
n · k! · (n − k)!
pa je teorem dokazan.
Teorem 1.5 Vrijedi
n
k = n
n − k, ∀k, n ∈ N ∪ {0}, k ≤ n,
n
k+ n
k + 1 = n + 1
k + 1, ∀k, n ∈ N ∪ {0}, k < n.
Zadatak 1.3 Doka¡zite teorem 1.5.
Druga tvrdnja teorema 1.5 daje nam poznati Pascalov trokut:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
...
...
(1.1)
U n-tom retku Pascalovog trokuta nalaze se binomni koeficijenti n-tog reda,
n = 0, 1, 2, 3, . . ., i to poredani po razredu k = 0, 1, 2 · · · , n. Vidimo da je
svaki element, osim rubnih, zbroj dvaju elemenata koji se nalaze s lijeve i
desne strane u retku iznad.
|
|
| Stron : [1] 2 3 4 . . . 10 Dalej |
|
Nie masz dosyæ przywileji aby odpowiedzieæ w tym forum.
|
