| Stron : Wstecz 1 . . . 7 8 9 [10] |
|
barjak
|
#1
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:09:20
|
matematika -tehnicki fakultet
Predgovor
Ova knjiga namijenjena je studentima tehni¡ckih i prirodnih znanosti, a
u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
u Splitu (FESB). U njoj je izlo¡zeno gradivo kolegija ”Matematika 1” po
sadr¡zaju koji se predaje na FESB-u. Obradena su poglavlja Osnove matematike,
Linearna algebra, Vektorska algebra i analiti¡cka geometrija, Funkcije
realne varijable, Derivacije i primjene, te Nizovi i redovi. Sli¡can sadr¡zaj nalazi
se u ve´cini istoimenih kolegija koji se predaju na tehni¡ckim i prirodoslovnim
fakultetima.
Budu´ci se radi o standardnom sadr¡zaju, nije citirana posebna literatura.
Spomenut ´cu samo neke od knjiga koje su utjecale na sadr¡zaj, a koje preporu
¡cujem i ¡citatelju:
D. Blanu¡sa, Vi¡sa matematika, I. dio (1. i 2. svezak), Tehni¡cka knjiga,
Zagreb, 1973.
L. Krni´c i Z. ¡Siki´c, Ra¡cun diferencijalni i integralni, I. dio, ¡Skolska knjiga,
Zagreb, 1992.
N. Ugle¡si´c, Predavanja iz matemati¡cke analize I, Svu¡cili¡ste u Splitu, Split,
1989.
B. P. Demidovi´c, Zadaci i rije¡seni primjeri iz vi¡se matematike, Tehni¡cka
knjiga, Zagreb, 1978.
U izradi ovog ud¡zbenika takoder je kori¡steno iskustvo i zabilje¡ske biv¡sih i
sada¡snjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujem
svoju zahvalnost. Za pa¡zljivo ¡citanje teksta i korisne primjedbe tijekom rada
zahvaljujem se kolegi Marku Mati´cu.
U Splitu, rujna 2002.
|
|
|
barjak
|
#128
|
Post: 706
31. Lip 2009. 23:08:45
|
funkcije realne varijable
130 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
4.5 Asimptote
Asimptota funkcije je pravac sa svojstvom da udaljenost izmedu to¡cke
na grafu funkcije i tog pravca te¡zi k nuli kada to¡cka na grafu odmi¡ce u beskona
¡cnost. Funkcija mo¡ze imati vertikalne, horizontalne i kose asimptote.
Pravac x = x0 je vertikalna asimptota funkcije f u to¡cki x0 s lijeve strane
ako je limx→x0−0 f(x) = +∞ ili limx→x0−0 f(x) = −∞. Analogno, pravac
x = x0 je vertikalna asimptota funkcije f u to¡cki x0 s desne strane ako je
limx→x0+0 f(x) = +∞ ili limx→x0+0 f(x) = −∞. Vertikalne asimptote se
mogu nalaziti u to¡ckama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima podru¡cja
definicije.
Na primjer, pravac x = 0 je vertikalna asimptota funkcije 1
x s obje strane
(slika 4.12). Pravac x = 0 je vertikalna asimptota funkcija ln x, log x i log2 x
(slika 4.25) s desne strane. U ovom slu¡caju vertikalna asimptota se nalazi u
rubu podru¡cja definicije.
Pravac y = y0 je horizontalna asimptota funkcije f u lijevoj strani ako
je limx→−∞ f(x) = y0. Analogno, pravac y = y0 je horizontalna asimptota
funkcije f u desnoj strani ako je limx→+∞ f(x) = y0. Na primjer pravac y = 0
je horizontalna asimptota funkcije 1
x u obje strane, kao i y = 0 horizontalna
asimptota funkcija 2x i ex u lijevoj strani (slika 4.23).
Ako je
lim
x→−∞
f(x)
x
= k, lim
x→−∞
(f(x) − kx) = l, (4.5)
pri ¡cemu je
k 6= 0,−∞,+∞, l 6= −∞,+∞,
tada je pravac y = kx + l kosa asimptota funkcije f u lijevoj strani. Kosu
asimptotu funkcije f u desnoj strani definiramo analogno.
Izvedimo formule (4.5). Prema slici 4.16 udaljenost od to¡cke na krivulji do
asimptote je d(M,L). Prema definiciji asimptote d(M,L) → 0 kada x → +∞.
Kako je cos 6= 0 konstanta, zaklju¡cujemo da
d(M,L) → 0 ⇔ d(M,N) → 0 ⇔ lim
x→+∞|f(x) − (kx + l)| = 0.
Zadnji uvjet, koji je ekvivalentan s
lim
x→+∞
(f(x) − kx − l) = 0 (4.6)
je o¡cito nu¡zan i dovoljan uvjet za postojanje kose asimptote. Gornja jednakost
je ekvivalentna s limx→+∞(f(x) − kx) = l. Nadalje, (4.6) povla¡ci
lim
x→+∞
f(x) − kx − l
x
= 0,
pa je limx→+∞
f(x)
x = k.
|
|
|
barjak
|
#129
|
Post: 706
31. Lip 2009. 23:09:41
|
asimtome
4.5 Asimptote 131
f(x)
y=kx+l
M
N
L
a
Slika 4.16: Kosa asimptota
Primjer 4.11 Ispitajmo pona¡sanje funkcije
f(x) =
x2
1 + x
u desnoj strani. Vrijedi
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
x2 · 1
x2
(1 + x) · 1
x2
= lim
x→+∞
1
0 + 0
= +∞
pa funkcija nema horizontalnu asimptotu u desnoj strani.
Potra¡zimo kosu asimptotu: vrijedi
lim
x→+∞
f(x)
x
= lim
x→+∞
x
1 + x
= 1
pa je k = 1. Potra¡zimo l: vrijedi
lim
x→+∞
(f(x) − kx) = lim
x→+∞ x2
1 + x − x = lim
x→+∞
−x
1 + x
= −1
pa je l = −1. Dakle, pravac y = x − 1 je kosa asimptota funkcije f u desnoj
strani.
Zadatak 4.7 Ispitajte pona¡sanje funkcije iz primjera 4.11 u lijevoj strani i u
to¡cki prekida x = −1. Poku¡sajte skicirati funkciju.
Primjer 4.12 Asimptote mo¡zemo tra¡ziti i kod parametarski zadanih funkcija.
Doka¡zimo da je pravac y = −x−1 kosa asimptota Descartesovog lista iz
|
|
|
barjak
|
#130
|
Post: 706
31. Lip 2009. 23:10:43
|
funkcije realne varijable
132 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
primjera 4.2 kao ¡sto je prikazano na slici 4.6. Descartesov list je u parametarskom
obliku zadan s formulama kao u primjeru 4.4:
x = x(t) =
3 t2
t3 + 1
, y = y(t) =
3 t
t3 + 1
, t ∈ R {−1}.
Kako su x i y funkcije parametra t, prvo moramo utvrditi za koje vrijednosti
parametra x te¡zi u beskona¡cno. Vrijedi
lim
t→−1−0
x(t) = lim
t→−1−0
3 t2
t3 + 1
=
3 (−1)2
(−1 − 0)3 + 1
=
3
−0
= −∞,
lim
t→−1+0
x(t) = lim
t→−1+0
3 t2
t3 + 1
=
3 (−1)2
(−1 + 0)3 + 1
=
3
+0
= +∞.
Potra¡zimo prvo kosu asimptotu u lijevoj strani. Formule (4.5) primjenjujemo
na sljede´ci na¡cin:
k = lim
x→−∞
y
x
= lim
t→−1−0
y(t)
x(t)
= lim
t→−1−0
3 t
t3+1
3 t2
t3+1
= lim
t→−1−0
1
t
= −1,
l = lim
x→−∞
(y − kx) = lim
t→−1−0
(y(t) − (−1)x(t)) = lim
t→−1−0 3 t
t3 + 1
+
3 t2
t3 + 1
= lim
t→−1−0
3 t
1 + t
t3 + 1
= lim
t→−1−0
3 t
t2 − t + 1
=
3 (−1)
(−1)2 − (−1) + 1
= −1.
Dakle, pravac y = −x−1 je kosa asimptota Descartesovog lista u lijevoj strani.
Sli¡cno se poka¡ze da je isti pravac kosa asimptota i u desnoj strani .
4.6 Pregled elementarnih funkcija
Opisat ´cemo elementarne funkcije i njihova svojstva. Detaljno poznavanje
svih elementarnih funkcija i svih njihovih svojstava nu¡zno je za uspje¡snu
analizu funkcija.
4.6.1 Konstantna funkcija
Funkcija f : R → {c}, pri ¡cemu je c ∈ R, definirana s
f(x) = c, ∀x ∈ R.
zove se konstantna funkcija (slika 4.17).
Konstantna funkcija je neprekidna, omedena, parna, monotona, nema vertikalne
ni kose asimptote te je o¡cito sama sebi horizontalna asimptota u oba
kraja.
|
|
|
barjak
|
#131
|
Post: 706
31. Lip 2009. 23:11:50
|
funkcije realne varijable
4.6 Pregled elementarnih funkcija 133
c
Slika 4.17: Konstantna funkcija
4.6.2 Potencija
Potenciranje s prirodnim brojem je funkcija f : R → R definirana s
f(x) = xn, n ∈ N.
Potenciranje je definirano rekurzivno:
x0 = 1, ∀x 6= 0, (00 je nedefinirano)
x1 = x,
xn+1 = xn · x.
Pravila potenciranja se lako doka¡zu indukcijom:
xm+n = xm · xn, (P1)
(xm)n = xm·n, (P2)
(x · y)n = xn · yn. (P3)
Primjeri potencija dani su na slici 4.18. Vidimo da su (ne)parne potencije
(ne)parne funkcije. Takoder vidimo da je za neparan n funkcija xn bijekcija
pa ima inverznu funkciju po teoremu 1.1, dok je za paran n restrikcija funkcije
xn na interval [0,∞) bijekcija pa ima inverznu funkciju.
Ako je x 6= 0 i k ∈ N, tada su dobro definirane i funkcije f : R{0} → R
(vidi sliku 4.19)
f(x) = x−k =
1
xk .
Pravila (P1), (P2) i (P3) vrijede ∀m, n ∈ Z ukoliko su izrazi dobro definirani,
odnosno ukoliko nazivnik nije nula.
Potenciranje s racionalnim eksponentom
Funkciju
f(x) = x
1
n = n√x
|
|
|
barjak
|
#132
|
Post: 706
31. Lip 2009. 23:12:36
|
funkcije realne varijable
134 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
-1
1
1
x
x**2
x**3
Slika 4.18: Potenciranje s prirodnim brojem
definiramo kao inverznu funkciju funkcije xn ili njene restrikcije na interval
[0,∞), ukoliko je n paran (vidi slike 4.20 i 4.21).
Napomena 4.7 Graf inverzne funkcije simetri¡can je grafu zadane funkcije s
obzirom na simetralu I i III kvadranta, to jest pravac y = x.
Napomena 4.8 Uz sliku 4.21 vezana je zanimljiva primjedba. Uo¡cite da
je funkcija 3 √x = x1/3 nacrtana iz dva dijela na pomalo neobi¡can na¡cin.
Mi znamo da je x1/3 inverzna funkcija funkcije x3. Medutim, ra¡cunala barataju
samo s diskretnim podskupom skupa Q (vidi poglavlje 1.7.1, a broj
1
3 = 0.3333 . . . = 0. ÿ3 ima beskona¡cni periodi¡cni decimalni zapis. Stoga programi
za crtanje funkcije oblika x1/k takve slu¡cajeve ¡cesto tretiraju kao potencije
s realnim eksponentom koje su definirane samo za x > 0 (vidi poglavlje
4.6.2). Naredba za crtanje funkcije x0.33333 u programu Gnuplot tako daje
sliku funkcije samo za x > 0, dok se lijeva strana dobije tako ¡sto se nacrta
funkcija −(−x)0.33333.
Nadalje, za n ∈ N mo¡zemo definirati funkciju
f(x) = x− 1
n =
1
x
1
n
,
pri ¡cemu je
D(x− 1
n ) = D(x
1
n ){0}.
|
|
|
barjak
|
#133
|
Post: 706
31. Lip 2009. 23:13:15
|
-1
1
-1 1
x**(-1)
x**(-2)
Slika 4.19: Funkcije f(x) = x−k, k ∈ N
Takoder mo¡zemo definirati i funkcije oblika
f(x) = x
m
n , m ∈ Z, n ∈ N,
pri ¡cemu se podru¡cje definicije odreduje na temelju prethodnih pravila. Na
primjer,
D(x
2
3 ) = R, D(x
3
2 ) = [0,∞).
Zadatak 4.8 Koje od funkcija xk, x1/k, k ∈ Z, su omedene (odozdo, odozgo),
parne ili neparne, monotone ili po dijelovima monotone, neprekidne ili imaju
prekide (kakvi su ti prekidi) te koje imaju vertikalne, horizontalne ili kose
asimptote ?
Prisjetimo se da je skup racionalnih brojeva Q zapravo skup klasa ekvivalencije
na skupu Z × N. Ukoliko su m i n relativno prosti tada je podru¡cje
definicije uvijek jednozna¡cno odredeno i vrijedi
x
m
n = (xm)
1
n = (x
1
n )m.
Ukoliko m i n nisu relativno prosti tada mo¡ze do´ci do situacije kao u sljede´cem
primjeru:
f(x) = ( 4 √x)2 = √x, D = [0,∞)
galeb(x) = 4 √x2, D = R.
|
|
|
barjak
|
#134
|
Post: 706
31. Lip 2009. 23:14:32
|
funkcije realne varijable
136 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
1
-1 1
x**2
sqrt(x)
x
Slika 4.20: Funkcija f(x) = √x
Dok je prva funkcija prikazana na slici 4.20, funkcija galeb(x) prikazana je na
slici 4.22.
Sli¡cno je i √x2 = |x| (vidi sliku 1.1).
Potenciranje s realnim brojem
Za x > 0 i a ∈ R definiramo funkciju f(x) = xa sa
xa = 

inf{xq : q ∈ Q ∧ q > a}, za x > 1
1, za x = 1
( 1
x )−a, za x < 1.
Pored toga, 0x = 0, ∀x 6= 0, a 00 je neodredeni oblik.
Pravila potenciranja (P1), (P2) i (P3) vrijede i za potenciranje s racionalnim
i realnim brojevima, a takoder vrijede i sljede´ca svojstva:
[(0 < x < y) ∧ (a > 0)] ⇒ xa < ya, (P4)
[(x > 1) ∧ (a < b)] ⇒ xa < xb, (P5)
[(0 < x < 1) ∧ (a < b)] ⇒ xa > xb. (P6)
4.6.3 Eksponencijalna funkcija
Ako fiksiramo bazu a ∈ R+ = (0,∞), a 6= 1, tada mo¡zemo definirati
funkciju
expa : R → R+, expa(x) ≡ expa x = ax,
¡cije se vrijednosti ra¡cunaju po prethodnim pravilima potenciranja. Iz svojstva
(P5) slijedi da je expa za a > 1 strogo rastu´ca funkcija. Takoder, za a > 1
|
|
|
barjak
|
#135
|
Post: 706
31. Lip 2009. 23:16:07
|
pregled elementarnih funkcija
4.6 Pregled elementarnih funkcija 137
-1
1
-1 1
x**3
x**(0.33333)
-(-x)**(0.33333)
x
Slika 4.21: Funkcija f(x) = 3 √x
funkcija expa ima horizontalnu asimptotu y = 0 kada x → −∞. Nadalje, kako
je
1
ax
= a−x,
to je funkcija exp1
a
simetri¡cna funkciji expa s obzirom na y-os. Dakle, za
a < 1 funkcija expa je strogo padaju´ca i ima horizontalnu asimptotu y = 0
kada x → +∞. expa je uvijek bijekcija (vidi sliku 4.23).
Napomena 4.9 Posebno se ¡cesto koriste funkcije 10x i ex. Broj e se zove
1
-1 1
Slika 4.22: Funkcija galeb(x) = 4 √x2
|
|
|
barjak
|
#136
|
Post: 706
31. Lip 2009. 23:16:43
|
funkcije realne varijable
138 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
1
2
-2 -1 -1/2 1/2 1 2
2**x
2**(-x)
Slika 4.23: Eksponencijalne funkcije 2x i 2−x
baza prirodnih logaritama, definiran je kao
e = lim
n→∞1 +
1
nn
= lim
x→+∞1 +
1
xx
,
i pribli¡zno je jednak e ≈ 2.7182 . . . (vidi sliku 4.24).
1/e
1
e
-1 1
10**x
e**x
Slika 4.24: Funkcije 10x i ex
|
|
|
barjak
|
#137
|
Post: 706
31. Lip 2009. 23:17:53
|
pogled elementarnih funkcija
4.6 Pregled elementarnih funkcija 139
4.6.4 Logaritamska funkcija
Kako je expa bijekcija, logaritamsku funkciju definiramo kao inverznu funkciju
eksponencijalne funkcije (vidi slike 4.25 i 4.26):
loga ≡ exp−1
a : R+ → R.
Posebno se koriste Briggsovi ili dekadski logaritmi s bazom 10,
log10 x ≡ log x,
i prirodni logaritmi s bazom e,
loge x ≡ ln x.
ln je kratica od logaritam naturalis.
-1
1
2
-2 -1 -1/2 1/2 1 2
log(x)/log(2)
2**x
x
Slika 4.25: Funkcija f(x) = log2 x
Zbog svojstava inverznih funkcija vrijedi (teorem 1.1)
(loga ◦ expa)(x) = loga(ax) = x, ∀x ∈ R,
(expa ◦ loga)(x) = aloga(x) = x, ∀x ∈ R+.
Zadatak 4.9 Nacrtajte funkcije loga(ax) i aloga(x).
|
|
|
Symantec
|
#138
|
Post: 207
01. Sie 2009. 22:36:18
|
svaka cast sto si zaludan
ali ljudi ovde dolaze da bi nasli partnera za fuck, a ne za resavanje matematickih zadataka.
|
|
| Stron : Wstecz 1 . . . 7 8 9 [10] |
|
Nie masz dosyæ przywileji aby odpowiedzieæ w tym forum.
|
