| Stron : Wstecz 1 2 [3] 4 5 6 . . . 10 Dalej |
|
barjak
|
#1
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:09:20
|
matematika -tehnicki fakultet
Predgovor
Ova knjiga namijenjena je studentima tehni¡ckih i prirodnih znanosti, a
u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
u Splitu (FESB). U njoj je izlo¡zeno gradivo kolegija ”Matematika 1” po
sadr¡zaju koji se predaje na FESB-u. Obradena su poglavlja Osnove matematike,
Linearna algebra, Vektorska algebra i analiti¡cka geometrija, Funkcije
realne varijable, Derivacije i primjene, te Nizovi i redovi. Sli¡can sadr¡zaj nalazi
se u ve´cini istoimenih kolegija koji se predaju na tehni¡ckim i prirodoslovnim
fakultetima.
Budu´ci se radi o standardnom sadr¡zaju, nije citirana posebna literatura.
Spomenut ´cu samo neke od knjiga koje su utjecale na sadr¡zaj, a koje preporu
¡cujem i ¡citatelju:
D. Blanu¡sa, Vi¡sa matematika, I. dio (1. i 2. svezak), Tehni¡cka knjiga,
Zagreb, 1973.
L. Krni´c i Z. ¡Siki´c, Ra¡cun diferencijalni i integralni, I. dio, ¡Skolska knjiga,
Zagreb, 1992.
N. Ugle¡si´c, Predavanja iz matemati¡cke analize I, Svu¡cili¡ste u Splitu, Split,
1989.
B. P. Demidovi´c, Zadaci i rije¡seni primjeri iz vi¡se matematike, Tehni¡cka
knjiga, Zagreb, 1978.
U izradi ovog ud¡zbenika takoder je kori¡steno iskustvo i zabilje¡ske biv¡sih i
sada¡snjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujem
svoju zahvalnost. Za pa¡zljivo ¡citanje teksta i korisne primjedbe tijekom rada
zahvaljujem se kolegi Marku Mati´cu.
U Splitu, rujna 2002.
|
|
|
barjak
|
#30
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:42:48
|
kompleksni brojevi
1.8 Kompleksni brojevi 29
Red na desnoj strani je apsolutno konvergentan pa po teoremu 6.12 smijemo
prvo zbrojiti realne, a zatim imaginarne ¡clanove pa Taylorovi razvoji funkcija
cos x i sin x daju
ei’ = 1 −
’2
2!
+
’4
4! −
’6
6!
+ · · ·+ i’
1! −
’3
3!
+
’5
5! −
’7
7!
+ · · ·
= cos ’ + i sin ’.
Pomo´cu Eulerovog oblika mo¡zemo definirati potenciranje s kompleksnim
eksponentom
ez = ex+iy = ex · eiy = ex(cos y + i sin y).
|
|
|
barjak
|
#31
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:43:54
|
linearna algebra
2.
LINEARNA ALGEBRA
2.1 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Zbrajanje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Mno¡zenje matrice sa skalarom . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Mno¡zenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.4 Nul-matrica i jedini¡cna matrica . . . . . . . . . . . . 37
2.1.5 Transponirana matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.6 Jo¡s o mno¡zenju matrica . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Matri¡cni zapis sustava linearnih jednad¡zbi . . . . . 40
2.3 Rje¡savanje trokutastih sustava . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Gaussova eliminacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.2 Pivotiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.3 Elementarne matrice transformacija . . . . . . . . . 51
2.5 Linearna nezavisnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7 Kronecker–Capellijev teorem . . . . . . . . . . . . . 54
2.8 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.9.1 Svojstva determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.9.2 Podmatrice i poddeterminante . . . . . . . . . . . . 62
2.9.3 Laplaceov razvoj determinante . . . . . . . . . . . . 62
2.9.4 Ra¡cunanje inverzne matrice . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9.5 Cramerovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.10 Rje¡savanje elektri¡cne mre¡ze . . . . . . . . . . . . . . 64
|
|
|
barjak
|
#32
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:44:32
|
linearna algebra
32 LINEARNA ALGEBRA
U ovoj glavi definirat ´cemo pojam sustava linearnih jednad¡zbi i opisati
postupak za njihovo rje¡savanje. Postupak se temelji na primjenama matri¡cnog
ra¡cuna, tako da ´cemo dati i osnovne pojmove o matricama i determinantama
te operacijama s njima. Dok se ve´cina studenata ve´c susrela s problemom
rje¡savanja sustava linearnih jednad¡zbi, kori¡stenje matrica je za ve´cinu novost.
Pojam ”linearnih” zna¡ci da se u jednad¡zbama nepoznanice pojavljuju samo
na prvu potenciju i da se ne pojavljuju umno¡sci nepoznanica. Za razliku od
sustava nelinearnih jednad¡zbi, za takve je sustave lako ustanoviti da li su rje¡sivi
te ako jesu, rije¡siti ih.
Rje¡senje sustava od m ≥ 2 jednad¡zbi s n = 2 nepoznanice odgovara
nala¡zenju sjeci¡sta m pravaca u ravnini. O¡cito vrijedi sljede´ce:
– m pravaca se mo¡ze sje´ci u jednoj to¡cki – pripadaju´ci sustav ima to¡cno
jedno rje¡senje. Na primjer, sustav
2x + y = 1
−x + y = −1
ima rje¡senje u to¡cki x = 2/3, y = −1/3 (slika 2.1).
– m pravaca mo¡ze le¡zati na istom pravcu – pripadaju´ci sustav ima beskona
¡cno rje¡senja;
– ako ni prvi ni drugi slu¡caj ne vrijede, tada sustav nema rje¡senje.
U poznatom Kronecker–Capellijevom teoremu 2.5 vidjet ´cemo da su ova tri
slu¡caja jedina mogu´ca i to za proizvoljni broj nepoznanica i jednad¡zbi.
2.1 Matrice
Matrice omogu´cuju jednostavan zapis i rje¡savanje sustava linearnih jednad
¡zbi.
Definicija 2.1 Pravokutna tablica brojeva
A = 

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn


, m, n ∈ N,
zove se matrica tipa m×n. Ako su svi brojevi aij realni, tada pi¡semo A ∈ Rm·n.
Tablica se stavlja u uglate ili oble zagrade. Brojevi aij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
su elementi matrice ili komponente matrice. Brojevi
ai1, ai2, . . . , ain
|
|
|
barjak
|
#33
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:45:29
|
matrice
2.1 Matrice 33
-2
-1
1
2
-2 -1 1 2
1-2*x
-1+x
Slika 2.1: Pravci koji se sijeku
tvore i-ti redak, brojevi
a1j , a2j , . . . , amj
tvore j-ti stupac, a brojevi
a11, a22, . . . , amin{m,n},min{m,n}
tvore dijagonalu matrice A. Ako je m = n ka¡zemo da je A kvadratna matrica
reda n. Ako je m = 1 ka¡zemo da je A ret¡cana matrica (ima samo jedan redak),
a ako je n = 1 ka¡zemo da je A stup¡cana matrica. Ret¡cane i stup¡cane matrice
se jo¡s zovu vektori.
Skup svih matrica tipa m × n jo¡s ozna¡cavamo s Mmn. Matrice obi¡cno
ozna¡cavamo velikim tiskanim slovima, A,B,X, . . . Koriste se i oznake
A = (aij), A = [aij ], A = (Aij), A = (A)ij .
Vektore mo¡zemo ozna¡cavati i s malim ¡stampanim slovima a, b, x, ili s masnim
slovima, a, b, x.
Na primjer, A je matrica tipa 3 × 4,
A = 

a11 a12 a14
1 −0.127 1017 0
5 7 9 11

,
|
|
|
barjak
|
#34
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:46:08
|
linearna algebra
34 LINEARNA ALGEBRA
B i c su primjeri ret¡cane odnosno stup¡cane matrice,
B = 1 2 3 4, c = 

0 √2
12345

,
dok su d = 0 i E = x kvadratne matrice reda 1, a ujedno i stup¡cane i
ret¡cane matrice
Nakon ¡sto smo definirali novi objekt, u ovom slu¡caju matricu, ¡zelimo ih
nau¡citi usporedivati. Prvi korak je definirati kada su dva objekta jednaka.
Definicija 2.2 Matrice A i B su jednake ako su istog tipa i ako je
aij = bij za sve parove indeksa i, j.
2.1.1 Zbrajanje matrica
Uvedimo prvu operaciju s matricama. Mogu se zbrajati samo matrice istog
tipa. Ako su matrice A i B istog tipa, tada je matrica
C = A + B
istog tipa kao i matrice A i B i vrijedi
cij = aij + bij .
Dakle, matrice se zbrajaju ¡clan po ¡clan. Svojstva zbrajanja su
A + B = B + A (komutativnost) i
(A + B) + C = A + (B + C) (asocijativnost).
2.1.2 Mno¡zenje matrice sa skalarom
Matrica se mno¡zi s nekim skalarom (brojem) tako da se svaki element
matrice pomno¡zi s tim brojem. Drugim rije¡cima, elementi matrice B = A su
Bij = aij .
Svojstva ove operacije proizlaze direktno iz svojstava mno¡zenja brojeva:
(A + B) = A + B,
( + µ)A = A + µA, (2.1)
(µA) = (µ)A.
|
|
|
barjak
|
#35
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:46:54
|
matrice
2.1 Matrice 35
2.1.3 Mno¡zenje matrica
Definicija mno¡zenja matrica je na prvi pogled neobi¡cna, ali upravo nam
ona omogu´cava jednostvno zapisivanje sustava linearnih jednad¡zbi.
Matrice A i B mo¡zemo pomno¡ziti samo ako su ulan¡cane, odnosno ako A
ima onoliko stupaca koliko B ima redaka. Matrica C = A·B ima redaka koliko
A i stupaca koliko B. Neka je, dakle, A tipa m × k i B tipa k × n. Tada je
matrica C tipa m × n i vrijedi
cij =
k
Xl=1
ailblj = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aikbkj . (2.2)
Element (2, 3) umno¡ska


a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34




b11 b12 b13 b14 b15
b21 b22 b23 b24 b25
b31 b32 b33 b34 b35
b41 b42 b43 b44 b45


nalazi se tako da stavite lijevi ka¡ziprst na a21 a desni na b13 i ka¡zete ”puta”.
Tada pomi¡cete ka¡ziprste prema a22 i b23 govore´ci ”plus” dok se ka¡ziprsti
pomi¡cu i ”puta” kada stignu na cilj. Nastavite li na taj na¡cin izra¡cunat ´cete
a21b13 + a22b23 + a23b33 + a24b43,
¡sto je upravo element (2, 3) produkta.
Na primjer,


1 2 3
4 5 6
7 8 9




1 2 0 −1
4 3 2 1
1 −1 1 −1

 = 

12 5 7 −2
30 17 16 −5
48 29 25 −8


Uo¡cimo da mno¡zenje u obrnutom poretku nije definirano stoga ¡sto matrice
nisu ulan¡cane. U sljede´cem primjeru su oba mno¡zenja definirana, ali umno¡sci
nisu istog tipa:


1
1
1

1 1 1 = 

1 1 1
1 1 1
1 1 1

,
1 1 1

1
1
1

 = 3.
|
|
|
barjak
|
#36
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:47:23
|
matrice
36 LINEARNA ALGEBRA
U sljede´cem primjeru su umno¡sci AB i BA istog tipa, ali nisu jednaki:
A = 2 1
1 0, B = −1 1
5 2,
AB = 3 4
−1 1, BA = −1 −1
12 5 .
U ovom primjeru su, pak, oba umno¡ska jednaka:
A = 2 2
2 2, B = 1 2
2 1, AB = BA = 6 6
6 6.
Iz prethodnih primjera zaklju¡cujemo kako, za razliku od mno¡zenja brojeva,
mno¡zenje matrica op´cenito nije komutativno.
Budite oprezni, jer se ova ¡cinjenica lako zaboravi kada se manipulira s formulama
koje sadr¡ze matrice.
Teorem 2.1 (Svojstva mno¡zenja matrica) Za proizvoljne matrice A, B i
C i broj , ukoliko su svi umno¡sci definirani vrijedi:
(i) (AB)C = A(BC) (asocijativnost),
(ii) A(B + C) = AB + AC (distributivnost),
(iii) (A + B)C = AC + BC (distributivnost),
(iv) (AB) = (A)B = A(B).
Primijetimo da zbog op´cenite nekomutativnosti mno¡zenja matrica, moramo
posebno navesti distributivnost prema mno¡zenju slijeva i zdesna.
Dokaz. (i) neka je A tipa m×k, B tipa k×l i C tipa l×n. Tada je AB tipa
|
|
|
barjak
|
#37
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:47:55
|
matrice
2.1 Matrice 37
m×l, a (AB)C je tipa m×n. Za proizvoljni element matrice (AB)C vrijedi:
[(AB)C]ij =
l
Xp=1
[AB]ipCpj
=
l
Xp=1 k
Xq=1
AiqBqpCpj = raspi¡semo sumu
=
l
Xp=1
k
Xq=1
AiqBqpCpj = zamijenimo redoslijed zbrajanja
=
k
Xq=1
l
Xp=1
AiqBqpCpj = grupiramo pribrojnike na drugi na¡cin
=
k
Xq=1
Aiq l
Xp=1
BqpCpj
=
k
Xq=1
Aiq[BC]qj
= [A(BC)]ij .
Ostale tvrdnje dokazuju se sli¡cno.
2.1.4 Nul-matrica i jedini¡cna matrica
Kod zbrajanja brojeva broj 0 je neutralni element s obzirom na zbrajanje,
odnosno
x + 0 = 0 + x = x za svaki broj x.
Analogija kod matrica je nul-matrica koja ima sve elemente jednake nuli. Nulmatricu
ozna¡cavamo s O, odnosno Omn kada ¡zelimo naglasiti o kojem tipu se
radi. Na primjer,
1 2 3
4 5 6+ 0 0 0
0 0 0 = 0 0 0
0 0 0+ 1 2 3
4 5 6 = 1 2 3
4 5 6.
Kod mno¡zenja brojeva broj 1 je neutralni element s obzirom na mno¡zenje,
odnosno
x · 1 = 1 · x = x za svaki broj x.
Analogija kod matrica je jedini¡cna matrica . Ukoliko matrica nije kvadratna,
jedini¡cne matrice u odnosu na mno¡zenje slijeva i zdesna su razli¡citog reda. Na
|
|
|
barjak
|
#38
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:48:34
|
linearna algebra
38 LINEARNA ALGEBRA
primjer, lako vidimo da je


12 5 7 −2
30 17 16 −5
48 29 25 −8




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


= 

12 5 7 −2
30 17 16 −5
48 29 25 −8

,


1 0 0
0 1 0
0 0 1




12 5 7 −2
30 17 16 −5
48 29 25 −8

 = 

12 5 7 −2
30 17 16 −5
48 29 25 −8

.
Jedini¡cnu matricu ozna¡cavamo s I, odnosno s In ako ¡zelimo naglasiti o kojoj
dimenziji se radi. Op´cenito je, dakle
Iij = (1 za i = j,
0 za i 6= j,
i za svaku matricu tipa m × n vrijedi
ImA = AIn = A.
Jedini¡cna matrica je poseban slu¡caj dijagonalne matrice. D je dijagonalna
matrica ako jedini ne-nula elementi le¡ze na njenoj dijagonali, odnosno
Dij = 0 za i 6= j.
2.1.5 Transponirana matrica
Uvedimo jo¡s jedan novi pojam. Transponirana matrica matrice A je matrica
AT koja je definirana sa
[AT ]ij = Aji.
Dakle, ako je A tipa m × n tada je AT tipa n × m. Na primjer,
1 2 0 −1T
= 

1
2
0
−1


, 1 2 8
0 9 2T
= 

1 0
2 9
8 2

,
dok je


1 2 3
2 4 5
3 5 6


T
= 

1 2 3
2 4 5
3 5 6

.
|
|
|
barjak
|
#39
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:49:24
|
matrice
2.1 Matrice 39
O¡cito je (AT )T = A. Transponiranje se lijepo uklapa u ostale operacije s
matricama:
(A + B)T = AT + BT ,
(µA)T = µAT , (2.3)
(AB)T = BTAT .
Matrica za koju je AT = A je simetri¡cna matrica. Zbog o¡cite simetrije u
prirodi, simetri¡cne matrice su ¡ceste u primjenama.
2.1.6 Jo¡s o mno¡zenju matrica
Formula (2.2) zapravo zna¡ci da se matrice mno¡ze na sljede´ci na¡cin:


1 2 3
4 5 6
7 8 9




1 2 0
4 3 2
1 −1 1

 =


(1 · 1 + 2 · 4 + 3 · 1) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · (−1)) (1 · 0 + 2 · 2 + 3 · 1)
(4 · 1 + 5 · 5 + 6 · 1) (4 · 2 + 5 · 3 + 6 · (−1)) (4 · 0 + 5 · 2 + 6 · 1)
(7 · 1 + 8 · 5 + 9 · 1) (7 · 2 + 8 · 3 + 9 · (−1)) (7 · 0 + 8 · 2 + 9 · 1)


No, mno¡zenje matrica se mo¡ze interpretirati na jo¡s dva na¡cina:


1 2 3
4 5 6
7 8 9




1 2 0
4 3 2
1 −1 1

=


1
4
7

1 2 0+ 

2
5
8

4 3 2+ 

3
6
9

1 −1 1,
i


1 2 3
4 5 6
7 8 9




1 2 0
4 3 2
1 −1 1

 =

1

1
4
7

+ 4

2
5
8

+ 1

3
6
9

 2

1
4
7

+ 3

2
5
8

+ (−1)

3
6
9

 0

1
4
7

+ 2

2
5
8

+ 1

3
6
9



.
|
|
|
barjak
|
#40
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:50:16
|
linearna algebra
40 LINEARNA ALGEBRA
Zadatak 2.1 Izra¡cunajte umno¡zak


1 −1 2
0 9 3
4 1 1




1 2
4 −3
1 −1


na sva tri opisana na¡cina.
Zadatak 2.2 Napi¡site programe za mno¡zenje matrica na ova tri na¡cina u programskom
jeziku Matlab. Pri tome mo¡zete koristiti program Octave On-line.
Programe mo¡zete napisati i u nekom drugom programskom jeziku (basic, pascal,
c, c++, FORTRAN ili java). Postoji li jo¡s mogu´cih interpretacija matri
¡cnog mno¡zenja?
2.2 Matri¡cni zapis sustava linearnih jednad¡zbi
Sustav
2x1 + x2 = 1
−x1 + x2 = −1
mo¡zemo zapisati kao
2 1
−1 1x1
x2 = 1
−1,
odnosno kao
Ax = b, (2.4)
pri ¡cemu su matrice A, x i b zadane s
A = 2 1
−1 1, x = x1
x2, b = 1
−1.
Istozna¡cnost ova dva zapisa slijedi iz definicije jednakosti matrica 2.2. Matrica
A se zove matrica sustava, a vektor b se zove slobodni vektor ili vektor slobodnih
¡clanova. Zbog jednostavnosti mo¡zemo izostaviti vektor x jer se njegovo
prisustvo podrazumijeva pa stoga ¡cesto zapisujemo pro¡sirenu matricu sustava
A b = 2 1
−1 1
1
−1.
Sli¡cno, sustav u obliku
2x1 + x2 − 1 = 0
−x1 + x2 + 1 = 0
|
|
|
barjak
|
#41
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:52:07
|
resavanje trokutastih sustava
40 LINEARNA ALGEBRA
Zadatak 2.1 Izra¡cunajte umno¡zak


1 −1 2
0 9 3
4 1 1




1 2
4 −3
1 −1


na sva tri opisana na¡cina.
Zadatak 2.2 Napi¡site programe za mno¡zenje matrica na ova tri na¡cina u programskom
jeziku Matlab. Pri tome mo¡zete koristiti program Octave On-line.
Programe mo¡zete napisati i u nekom drugom programskom jeziku (basic, pascal,
c, c++, FORTRAN ili java). Postoji li jo¡s mogu´cih interpretacija matri
¡cnog mno¡zenja?
2.2 Matri¡cni zapis sustava linearnih jednad¡zbi
Sustav
2x1 + x2 = 1
−x1 + x2 = −1
mo¡zemo zapisati kao
2 1
−1 1x1
x2 = 1
−1,
odnosno kao
Ax = b, (2.4)
pri ¡cemu su matrice A, x i b zadane s
A = 2 1
−1 1, x = x1
x2, b = 1
−1.
Istozna¡cnost ova dva zapisa slijedi iz definicije jednakosti matrica 2.2. Matrica
A se zove matrica sustava, a vektor b se zove slobodni vektor ili vektor slobodnih
¡clanova. Zbog jednostavnosti mo¡zemo izostaviti vektor x jer se njegovo
prisustvo podrazumijeva pa stoga ¡cesto zapisujemo pro¡sirenu matricu sustava
A b = 2 1
−1 1
1
−1.
Sli¡cno, sustav u obliku
2x1 + x2 − 1 = 0
−x1 + x2 + 1 = 0
|
|
|
barjak
|
#42
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:53:08
|
linearna algebra
42 LINEARNA ALGEBRA
Teorem 2.3 Ako su svi dijagonalni elementi kvadratne gornje trokutaste matrice
U razli¡citi od nule, tada sustav Ux = b ima jedinstveno rje¡senje.
Dokaz. Ilustrirajmo prvo rje¡savanje sustava za n = 5. Prvo napi¡simo sustav
u skalarnom obliku
u11x1 + u12x2 + u13x3 + u14x4 + u15x5 = b1
u22x2 + u23x3 + u24x4 + u25x5 = b2
u33x3 + u34x4 + u35x5 = b3
u44x4 + u45x5 = b4
u55x5 = b5
Peta jednad¡zba sadr¡zi samo nepoznanicu x5 i mo¡zemo je rije¡siti odmah:
x5 =
b5
u55
.
Dobivenu vrijednost od x5 mo¡zemo uvrstiti u ¡cetvrtu jednad¡zbu koju potom
rije¡simo i dobijemo
x4 =
b4 − u45x5
u44
.
Uvr¡stavanjem x4 i x5 u tre´cu jednad¡zbu te rje¡savanjem te jednad¡zbe dobijemo
x3 =
b3 − u34x4 − u35x5
u33
.
Nastavljaju´ci ovim postupkom dobijemo
x2 =
b2 − u23x3 − u24x4 − u25x5
u22
i
x1 =
b1 − u12x2 − u13x3 − u14x4 − u15x5
u11
.
Kako su po pretpostavci dijagonalni elementi uii razli¡citi od nule, ove formule
jednozna¡cno odreduju xi. Ovaj postupak se o¡cito mo¡ze izvesti za proizvoljnu
dimenziju n pa je teorem dokazan.
Ovaj postupak se jednostavno mo¡ze izvr¡siti na ra¡cunalu. Odgovaraju´ci
program u programskom jeziku C glasi
for (i=n;i>=1;i--){
for (j=n;j>i;j--)
b[i]=b[i]-u[i][j]*b[j];
b[i]=b[i]/u[i][i];
}
|
|
|
barjak
|
#43
|
Post: 706
30. Lip 2009. 11:53:50
|
resavanje trokutastih sustava
2.3 Rje¡savanje trokutastih sustava 43
Nakon zavr¡setka programa, rje¡senje x se nalazi na mjestu gdje se na po¡cetku
nalazio vektor b.
Program za rje¡savanje gornje trokutastog sustava u programskom jeziku
Matlab izgleda ne¡sto jednostavnije:
for i=n:-1:1
for j=n:-1:i+1
b(i)=b(i)-u(i,j)*b(j)
end
b(i)=b(i)/u(i,i)
end
Isti program u programskom jeziku FORTRAN, ovaj put napisan kori¡stenjem
uzlazne petlje, izgleda ovako:
do k=1,n
i=n-k+1
do j=i+1,n
b(i)=b(i)-u(i,j)*b(j)
enddo
b(i)=b(i)/u(i,i)
enddo
Broj ra¡cunskih operacija potrebnih za rje¡savanje gornje trokutastog sustava
iznosi
n
Xi=1
(2i − 1) = 2
n(n + 1)
2 − n ≈ n2.
Na modernim ra¡cunalima (Pentium 350), koja izvr¡savaju do 30 milijuna operacija
u sekundi, rje¡savanje trokutastog sustava dimenzije n = 1000 traje oko
1/30 sekunde.
Postupak za rje¡savanje donje trokutastog sustava Lx = b je sli¡can i dan
je u sljede´cem Matlab programu:
for i=1:n
for j=i+1:n
b(i)=b(i)-l(i,j)*b(j)
end
b(i)=b(i)/l(i,i)
end
Kako se trokutasti sustavi lako rje¡savaju, rje¡senje op´ceg (netrokutastog)
sustava dobijemo tako da pomo´cu Gaussove eliminacije zadani sustav svedemo
na trokutasti oblik.
|
|
| Stron : Wstecz 1 2 [3] 4 5 6 . . . 10 Dalej |
|
Nie masz dosyæ przywileji aby odpowiedzieæ w tym forum.
|
