matematika -tehnicki fakultet

Forum
Forum :: Przeszukaj forum :: Opcje Forum :: Top Forum

3. Opšte teme > Nauka > matematika -tehnicki fakultet

Stron : Wstecz 1 2 3 4 [5] 6 7 8 . . . 10 Dalej
barjak	#1
Post: 706 30. Lip 2009. 10:09:20	matematika -tehnicki fakultet Predgovor Ova knjiga namijenjena je studentima tehni¡ckih i prirodnih znanosti, a u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu (FESB). U njoj je izlo¡zeno gradivo kolegija ”Matematika 1” po sadr¡zaju koji se predaje na FESB-u. Obradena su poglavlja Osnove matematike, Linearna algebra, Vektorska algebra i analiti¡cka geometrija, Funkcije realne varijable, Derivacije i primjene, te Nizovi i redovi. Sli¡can sadr¡zaj nalazi se u ve´cini istoimenih kolegija koji se predaju na tehni¡ckim i prirodoslovnim fakultetima. Budu´ci se radi o standardnom sadr¡zaju, nije citirana posebna literatura. Spomenut ´cu samo neke od knjiga koje su utjecale na sadr¡zaj, a koje preporu ¡cujem i ¡citatelju: D. Blanu¡sa, Vi¡sa matematika, I. dio (1. i 2. svezak), Tehni¡cka knjiga, Zagreb, 1973. L. Krni´c i Z. ¡Siki´c, Ra¡cun diferencijalni i integralni, I. dio, ¡Skolska knjiga, Zagreb, 1992. N. Ugle¡si´c, Predavanja iz matemati¡cke analize I, Svu¡cili¡ste u Splitu, Split, 1989. B. P. Demidovi´c, Zadaci i rije¡seni primjeri iz vi¡se matematike, Tehni¡cka knjiga, Zagreb, 1978. U izradi ovog ud¡zbenika takoder je kori¡steno iskustvo i zabilje¡ske biv¡sih i sada¡snjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujem svoju zahvalnost. Za pa¡zljivo ¡citanje teksta i korisne primjedbe tijekom rada zahvaljujem se kolegi Marku Mati´cu. U Splitu, rujna 2002.

barjak	#58
Post: 706 30. Lip 2009. 12:09:28	linearna algebra 58 LINEARNA ALGEBRA 2.9 Determinante Za definiciju determinante potreban nam je pojam permutacije. Permutacija brojeva 1, 2, . . . , n je svaka uredena n-torka (i1, i2, . . . , in) u kojoj se svaki od brojeva 1, 2, . . . , n javlja to¡cno jedanput. Brojevi ip i iq su u inverziji ako je p < q i ip > iq. Permutacija je parna ako je broj inverzija u njoj paran, a neparna ina¡ce. Sljede´ca tablica prikazuje sve permutacije brojeva 1, 2, 3, broj inverzija i parnost: permutacija # inverzija parnost (1,2,3) 0 parna (1,3,2) 1 neparna (2,1,3) 1 neparna (2,3,1) 2 parna (3,1,2) 2 parna (3,2,1) 3 neparna Vidimo da je pola permutacija parno, a pola neparno. To vrijedi za svaki n. Teorem 2.7 Vrijedi sljede´ce: (i) broj permutacija od n brojeva jednak je n(n − 1)(n − 2) · · · 1 ≡ n!, (ii) ako u permutaciji (i1, i2, . . . , in) zamijenimo mjesta brojevima ip i iq, p 6= q, parnost ´ce se promijeniti. Dokaz. (i) Prvo mjesto u permutaciji mo¡zemo popuniti s n brojeva, a drugo mjesto u permutaciji mo¡zemo popuniti s preostalih n − 1 brojeva. To zna¡ci da prva dva mjesta mo¡zemo popuniti na n(n − 1) razli¡citih na¡cina pa prvu tvrdnju mo¡zemo dokazati indukcijom. (ii) Ako dva susjedna elementa zamijene mjesta, tada se parnost promijeni. Pretpostavimo sada da je q − p > 1, odnosno ip i iq nisu susjedi. Tada ip mo¡zemo prebaciti na q-tu poziciji s q − p zamjena susjednih elemenata udesno. Pri tome su se svi elementi ip+1, . . . , iq pomakli za jedno mjesto ulijevo. Sada pomo´cu q − p − 1 zamjena susjednih elemenata ulijevo prebacimo element iq s pozicije q − 1 na poziciju p. Pri tome se ostali elementi ip+1, . . . , iq−1 vrate na svoja originalna mjesta, a ip i iq su zamijenili mjesta. Ukupno smo izvr¡sili 2(q − p) − 1, dakle neparni broj zamjena susjednih elemenata pa se parnost promijenila.

barjak	#59
Post: 706 30. Lip 2009. 12:10:36	determinante 2.9 Determinante 59 Zadatak 2.8 Odredite parnost permutacije (1, 3, 5, 7, 6, 2, 4), a zatim zamijenite i2 i i5 na na¡cin koji je opisan u dokazu teorema 2.7. Sada mo¡zemo definirati determinantu. Definicija 2.6 Determinanta matrice A = (aij) ∈Mn je broj det(A) = X∈n (−1)k()a1i1a2i2 · · · anin, (2.8) pri ¡cemu je n skup svih permutacija = (i1, i2, . . . , in), a k() je broj inverzija u permutaciji . Determinantu matrice A jo¡s ozna¡cavamo s \|A\|. Na primjer, a b c d = ad − bc, i a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = + a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31. Formulu za determinantu matrice 3 × 3 jednostavnije pamtimo pomo´cu Sarrusovog pravila. Za izra¡cunavanje formule (2.8) potrebno je (n − 1)n! mno¡zenja i n! − 1 zbrajanja, ¡sto je prakti¡cno neizvedivo za veliki n. U poglavlju 2.9.1 ´cemo vidjeti kako se determinante efikasno ra¡cunaju pomo´cu Gaussove eliminacije. Svaki umno¡zak u formuli (2.8) ima to¡cno jedan element iz svakog retka i svakog stupca, pri ¡cemu su indeksi redaka navedeni u osnovnoj permutaciji (1, 2, . . . , n). No, svaki umno¡zak mo¡zemo zapisati i tako da indeksi stupaca budu u osnovnoj permutaciji. Indeksi redaka tada stoje u inverznoj permutaciji permutacije . Mo¡ze se pokazati da inverzna permutacija ima istu parnost kao i . Stoga vrijedi det(A) =X∈ (−1)k()ai11ai22 · · · ainn. (2.9) Zadatak 2.9 Izra¡cunajte determinantu matrice 3 × 3 prema formuli (2.9) i usporedite s izrazom (2.9) kojeg smo dobili prema formuli (2.8).

barjak	#60
Post: 706 30. Lip 2009. 12:11:33	linearna algebra 60 LINEARNA ALGEBRA 2.9.1 Svojstva determinanti Navodimo najva¡znija svojstva determinanti. Dokazi nekih tvrdnji dani su u obliku uputa ili naznaka ili u vrlo sa¡zetom obliku. D1. Determinanta trokutaste matrice jednaka je produktu elemenata na dijagonali. Ako je A recimo gornje trokutasta matrica, tada svi umno¡sci u (2.8), osim a11a22 · · · ann, imaju barem jedan element iz donjeg trokuta pa su jednaki nula. Na primjer, za jedini¡cnu matricu vrijedi det(I) = 1. D2. det(A) = det(AT ). Jednakost vrijedi zbog formula (2.8) i (2.9). Iz ovog svojstva zaklju¡cujemo da sva svojstva koja ´cemo navesti za retke vrijede i za stupce. D3. Zamjenom dvaju stupaca determinanta mijenja predznak. Zamjenom dvaju stupaca u svakom umno¡sku u formuli (2.8) dolazi do zamjene dvaju elemenata u permutaciji drugih indeksa pa se po teoremu 2.7 u svakom umno¡sku parnost permutacije promijeni. D4. Determinanta matrice s dva jednaka stupca je nula. Svojstvo slijedi stoga ¡sto po svojstvu D3 zamjenom dvaju redaka determinanta mijenja predznak, a kako smo zamijenili iste retke determinanta se ne mijenja. Koji broj jedini ostaje isti kada promijeni predznak? D5. Determinanta je multilinearna funkcija svojih stupaca, odnosno · · · b + c · · ·= · · · b · · ·+ · · · c · · ·. Ovo svojstvo slijedi direktno iz formule (2.8). Posebno zaklju¡cujemo da za matricu A1 koja se dobije tako ¡sto se svi elementi nekog stupca matrice A pomno¡ze s brojem vrijedi det(A1) = det(A). Takoder, ako matrica A ima nul-stupac, tada je det(A) = 0. D6. Determinanta se ne mijenja ako jednom stupcu pribrojimo neki drugi stupac pomno¡zen s nekim brojem. Po svojstvu D5 vrijedi

barjak	#61
Post: 706 30. Lip 2009. 12:12:27	determinante 2.9 Determinante 61 · · · a + b · · · b · · · =· · · a · · · b · · · + · · · b · · · b · · ·, a po svojstvu D4 je druga determinanta na desnoj strani jednaka nula. D7. Za matrice A,B ∈Mn vrijedi det(AB) = det(A) det(B). Na primjer, za regularnu matricu A det(AA−1) = det(A) det(A−1) = det(I) = 1 povla¡ci det(A−1) = 1 det(A) . D8. Determinanta je razli¡cita od nule ako i samo ako su stupci matrice linearno nezavisni, odnosno ako je matrica regularna. Ako je rang(A) < n, tada je jedan od stupaca linearna kombinacija ostalih pa ga, koriste´ci operacije iz svojstva D6, mo¡zemo poni¡stiti. Tada je det(A) = 0 po svojstvu D5. Obratno, ako je det(A) = 0, tada matrica A mora biti singularna, odnosno rang(A) < n, jer bi u protivnom det(A) det(A−1) = 1 povla¡cilo det(A) 6= 0. Napomena 2.3 Koriste´ci svojstva D3, D5 i D6 lako mo¡zemo pratiti kako se determinanta mijenja kada vr¡simo elementarne transformacije na matrici – determinanta ili promijeni predznak ili se uve´ca za neki faktor ili ostane ista. Nakon ¡sto Gaussovom eliminacijom dobijemo trokutasti oblik, determinantu lako izra¡cunamo po svojstvu D1. Napose, ako koristimo samo matrice transformacije Mi opisane u poglavlju 2.4, ¡cija je determinanta jednaka jedan, tada je determinanta polazne matrice jednaka determinanti trokutaste matrice. Zadatak 2.10 Izra¡cunajte 1 −2 1 2 1 −2 −1 −1 0 pomo´cu formule (2.9) i pomo´cu Gaussove eliminacije (vidi primjer 2.1).

barjak	#62
Post: 706 30. Lip 2009. 12:13:00	linearna algebra 62 LINEARNA ALGEBRA 2.9.2 Podmatrice i poddeterminante Rang matrice mo¡zemo definirati i pomo´cu podmatrica. Neka je zadana matrica A tipa m × n. Na presjeku r redaka i s stupaca matrice A nalazi se matrica tipa r ×s koju zovemo podmatrica ili submatrica matrice A. Naravno da je i A svoja vlastita podmatrica, kao i svaki element od A. Poddeterminante matrice A su determinante kvadratnih podmatrica matrice A. Teorem 2.8 Sljede´ce tvrdnje su ekvivalentne: (i) rang(A) = r. (ii) Barem jedna poddeterminanta od A reda r je razli¡cita od nule, a sve poddeterminante reda ve´ceg od r su jednake nula. 2.9.3 Laplaceov razvoj determinante Neka Dij ozna¡cava determinantu podmatrice koja se dobije kada iz kvadratne matrice A ispustimo i-ti redak i j-ti stupac. Algebarski komplement ili kofaktor elementa aij je broj Aij = (−1)i+jDij . Ako pribrojnike u formulama (2.8) ili (2.9) grupiramo po elementima koji se nalaze u i-tom retku dobijemo Laplaceov razvoj determinante po elementima i-tog retka, det(A) = n Xj=1 aijAij . Sli¡cno, ako pribrojnike grupiramo po elementima koji se nalaze u j-tom stupcu, tada dobijemo razvoj determinante po elementima j-tog stupca, det(A) = n Xi=1 aijAij . Na primjer, koriste´ci svojstva determinanti i Laplaceov razvoj imamo −2 8 8 −4 3 12 15 −3 7 28 −14 14 3 8 4 3 = 2 · 3 · 7 −1 4 4 −2 1 4 5 −1 1 4 −2 2 3 8 4 3 II + I III + I IV + 3 I = 42 −1 4 4 −2 0 8 9 −3 0 8 2 0 0 20 16 −3 = 42(−1)(−1)1+1 8 9 −3 8 2 0 20 16 −3 = 4032.

barjak	#63
Post: 706 30. Lip 2009. 12:13:38	determinante 2.9 Determinante 63 2.9.4 Ra¡cunanje inverzne matrice Postoji jo¡s jedan va¡zan izraz za inverznu matricu. Teorem 2.9 Neka je A regularna matrica i neka je ˜ A matrica ¡ciji su elementi algebarski komplementi Aij . Tada je A−1 = 1 det(A) ˜ AT . Dokaz. Stavimo B = ˜ AT / det(A). Tada je (AB)ij =Xk aikbkj = 1 det(A)Xk aikAjk. Za i = j suma na desnoj strani predstavlja Laplaceov razvoj determinante matrice A po i-tom retku pa je (AB)ii = 1. Za i 6= j suma na desnoj strani predstavlja Laplaceov razvoj determinante s dva jednaka retka pa je jednaka nuli. Dakle, AB = I. Sli¡cno se poka¡ze BA = I pa je teorem dokazan. Zadatak 2.11 Nadite inverznu matricu matrice A iz zadatka 2.7 koriste´ci prethodni teorem. 2.9.5 Cramerovo pravilo Sljede´ci teorem daje formulu za rje¡senje sustava linearnih jednad¡zbi kada je matrica sustava regularna. Teorem 2.10 (Cramer) Neka je A regularna matrica i neka je Di determinanta matrice koja se dobije kada se i-ti stupac matrice A zamijeni s vektorom b. Tada su komponente rje¡senja sustava Ax = b dane s xi = Di det(A) . Dokaz. Matrica A je regularna pa je x = A−1b = 1 det(A) ˜ AT b. Ova jednakost napisana po komponentama glasi xi = 1 det(A)Xk Akibk = 1 det(A) Di pa je teorem dokazan.

barjak	#64
Post: 706 30. Lip 2009. 12:14:21	linearna algebra 64 LINEARNA ALGEBRA Zadatak 2.12 Neka je matrica sustava a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 regularna. Rije¡site sustav pomo´cu Cramerovog pravila i provjerite rje¡senje. 2.10 Rje¡savanje elektri¡cne mre¡ze U ovom poglavlju pokazat ´cemo kako se pomo´cu matri¡cnog ra¡cuna mogu rje¡savati elektri¡cne mre¡ze. Zanimljivo ja da se u tom postupku koriste mnoga svojstva matrica i sustava jednad¡zbi koja smo opisali u prethodnim poglavljima. Stoga pra´cenje primjera nije jednostavno i zahtijeva odli¡cno poznavanje prethodnih poglavlja. Promotrimo mre¡zu prikazanu na slici 2.21. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 7 Slika 2.2: Elektri¡cna mre¡za Grane mre¡ze su ozna¡cene s brojevima od 1 do 7, a ¡cvorovi mre¡ze s brojevima od 1 do 4. Grana k se sastoji od serijskog spoja otpora Rk i naponskog izvora Uk, a kroz granu te¡ce struja Ik (vidi Sliku 2.3). ¡Cvor i ima napon (potencijal) Vi. Na¡s zadatak je izra¡cunati struje Ik ako znamo otpore Rk i naponske izvore Uk. Za rje¡savanje mre¡ze koristimo dva zakona: 1Ovaj primjer izradio je prof. dr. sc. Kre¡simir Veseli´c, Fernuniversit¨at Hagen, Njema¡cka.

barjak	#65
Post: 706 30. Lip 2009. 12:15:30	resavanje elektricne mrezae 2.10 Rje¡savanje elektri¡cne mre¡ze 65 i j Rk Uk Ik - + - + Slika 2.3: Standardna grana mre¡ze – prvi Kirchoov zakon po kojemu je zbroj struja koje ulaze u pojedini ¡cvor jednak nula i – Ohmov zakon po kojemu je struja kroz otpor = napon na otporu otpor . Ako struje koje ulaze u ¡cvor ozna¡cimo s predznakom −, a struje koje izlaze iz ¡cvora s predznakom +, tada prvi Kirchoov zakon primijenjen na ¡cvorove 1–4 daje I1 +I2 +I3 −I7 = 0 −I1 −I4 +I6 = 0 −I2 +I4 +I5 = 0 −I3 −I5 −I6 = 0 Vidimo da se radi o homogenom sustavu linearnih jednad¡zbi koji ima ¡cetiri jednad¡zbe i sedam nepoznanica, I1, . . . , I7. Ako je A =   1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 −1   , I =   I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7   , tada matri¡cni zapis sustava glasi AI = 0. (2.10) Matrica A zove se matrica incidencija ili matrica susjedstva zadane elektri¡cne mre¡ze. Ako zadnji stupac matrice A premjestimo na prvo mjesto, dobit ´cemo gornje trokutastu matricu pa lako vidimo da je rang(A) = 4. Ako k-ti vodi¡c ide od ¡cvora i prema ¡cvoru j, tada Ohmov zakon daje RkIk = Vi − Vj + Uk.

barjak	#66
Post: 706 30. Lip 2009. 12:16:12	linearna algebra 66 LINEARNA ALGEBRA Dakle, imamo jo¡s jedan sustav linearnih jednad¡zbi koji glasi R1I1 = V1 − V2 + U1 R2I2 = V1 − V3 + U2 R3I3 = V1 − V4 + U3 R4I4 = −V2 + V3 + U4 R5I5 = V3 − V4 + U5 R6I6 = V2 − V4 + U6 R7I7 = −V1 + 0 + U7 Neka je R dijagonalna matrica otpora vodi¡ca (matrica ¡ciji su dijagonalni elementi otpori), V vektor napona ¡cvorova i U vektor naponskih izvora na vodi¡cima, R =   R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7   , V =   V1 V2 V3 V4   , U =   U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7   . Uz ove oznake gornji sustav mo¡zemo zapisati u matri¡cnom obliku kao RI = AT V + U. (2.11) Primijetimo da se i u matri¡cnom zapisu Ohmovog zakona ponovo javlja matrica incidencija A, ovaj put transponirana. Matrica R je dijagonalna, a njeni dijagonalni elementi (otpori) su ve´ci od nule pa je prema tome R regularna i vrijedi R−1 =   1 R1 1 R2 1 R3 1 R4 1 R5 1 R6 1 R7   Kada jednad¡zbu (2.11) pomno¡zimo s matricom R−1 s lijeve strane, dobit ´cemo novi ekvivalentan sustav I = R−1AT V + R−1U. (2.12)

barjak	#67
Post: 706 30. Lip 2009. 12:16:55	resavanje elektricne mrezae 2.10 Rje¡savanje elektri¡cne mre¡ze 67 Pomno¡zimo sada ovu jednad¡zbu s matricom incidencija A s lijeve strane. To nam daje sustav AI = AR−1AT V + AR−1U = 0. (2.13) Zadnja jednakost u ovoj jednad¡zbi slijedi iz prvog Kirchoovog zakona (2.10). Radi lak¡seg snala¡zenja uvedimo nove oznake, K = AR−1AT , L = −AR−1U. (2.14) Matrica K i vektor L su poznati jer su matrice A i R i vektor U zadani. Matrica K je dimenzije 4 × 4, a vektor L je dimenzije 4 × 1. Matrica K je simetri¡cna jer je KT = (AR−1AT )T = (AT )T (R−1)TAT = AR−1AT = K. Uz ove oznake jednad¡zba (2.13) daje sustav od ¡cetiri jednad¡zbe i ¡cetiri nepoznanice KV = L. (2.15) Primijetimo da u elektri¡cnoj mre¡zi ¡cvorova uvijek ima manje nego vodi¡ca. Stoga je ovaj sustav manjih dimenzija od sustava (2.10) pa je njega povoljnije rje¡savati. Prema Kronecker-Cappelijevom teoremu sustav (2.15) ´ce imati jedinstveno rje¡senje V ako i samo ako je rang(K) = 4. Da je taj uvjet zaista ispunjen mo¡zemo zaklju¡citi pomo´cu sljede´ceg va¡znog teorema koji navodimo bez dokaza. Teorem 2.11 Ako je matrica A tipa m × k i matrica B tipa k × n, tada je rang(A) + rang(B) − k ≤ rang(AB) ≤ min{rang(A), rang(B)}. Pored toga, za svaku matricu A vrijedi rang(AAT ) = rang(ATA) = rang(A). Da bi primijenili teorem 2.11, uo¡cimo da matricu K mo¡zemo zapisati kao K = AR−1AT = AS−1(S−1)TAT = FFT , gdje je F = AS−1, a S = (sij) je dijagonalna matrica ¡ciji su dijagonalni elementi skk = √Rk. Kako je rang(A) = 4 i rang(S) = rang® = 7, prva tvrdnja teorema 2.11 daje 4 + 7 − 7 ≤ rang(AS−1) = rang(F) ≤ min{4, 7}, odnosno rang(F) = 4. Druga tvrdnja teorema 2.11 sada povla¡ci rang(K) = rang(F) = 4 pa sustav (2.15) ima jedinstveno rje¡senje V .

barjak	#68
Post: 706 30. Lip 2009. 12:17:33	linearna algebra 68 LINEARNA ALGEBRA Kona¡cno, nakon ¡sto smo izra¡cunali napone u ¡cvorovima V , struje kroz vodi¡ce I lako izra¡cunamo uvr¡stavanjem u jednad¡zbu (2.12). Za kraj, izra¡cunajmo napone u ¡cvorovima V i struje u vodi¡cima I za elektri ¡cnu mre¡zu sa slike 2.2 za slu¡caj kada su otpori svih vodi¡ca jednaki 10 oma, Rk = 10 , a u vodi¡cima 1, 4 i 5 se nalaze naponski izvori od jednog volta, U1 = U4 = U5 = 1V. Uvr¡stavanje u relaciju (2.14) daje K =   0.4 −0.1 −0.1 −0.1 −0.1 0.3 −0.1 −0.1 −0.1 −0.1 0.3 −0.1 −0.1 −0.1 −0.1 0.3   , L =   −0.1 0.2 −0.2 0.1   . Rje¡senje sustava (2.15) daje napone u ¡cvorovima V =   0 V 0.75 V −0.25 V 0.5 V   , a uvr¡stavanje u jednad¡zbu (2.12) daje struje u vodi¡cima I =   0.025 A 0.025 A −0.05 A 0 A 0.025 A 0.025 A 0 A   . Zadatak 2.13 Gornje rje¡senje dobiveno je pomo´cu sljede´ceg programa napisanog u programskom jeziku Matlab: A=[1 1 1 0 0 0 -1; -1 0 0 -1 0 1 0; 0 -1 0 1 1 0 0; 0 0 -1 0 -1 -1 0] R=diag([10 10 10 10 10 10 10]) U=[1 0 0 1 1 0 0]’ R1=inv® K=AR1A’ L=-AR1U V=KL I=R1(A’V+U) U prvom retku programa matrica A je zadana po retcima, pri ¡cemu su retci odvojeni znakom ;. U drugom retku programa naredba diag koristi se

barjak	#69
Post: 706 30. Lip 2009. 12:18:11	resavanje elektricne mrezae 2.10 Rje¡savanje elektri¡cne mre¡ze 69 za kreiranje dijagonalne matrice ¡ciji su dijagonalni elementi jednaki elementima zadanog vektora. U tre´cem, petom i zadnjem retku znak ’ ozna¡cava transponiranu matricu. U ¡cetvrtom retku koristi se naredba inv koja daje inverznu matricu. U sedmom retku znak zna¡ci rje¡savanje sustava. Izvedite gornji program u Matlabu. Zatim rije¡site elektri¡cnu mre¡zu sa slike 2.2 za neke druge vrijednosti otpora Rk i naponskih izvora Uk. Zadajte neku drugu elektri¡cnu mre¡zu i rije¡site je na isti na¡cin. Pri rje¡savanju zadatka mo¡zete koristiti program Octave On-line.

barjak	#70
Post: 706 30. Lip 2009. 21:14:06	vektorska algebra 3. VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA 3.1 Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Zbrajanje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3 Mno¡zenje vektora skalarom . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4 Prostor radijus-vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5 Koordinatizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.1 Koordinatizacija pravca . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.2 Koordinatizacija ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.5.3 Koordinatizacija prostora . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6 Duljina vektora, jedini¡cni vektor, kut izmedu vek- tora i kosinusi smjerova . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7 Linearna nezavisnost vektora . . . . . . . . . . . . . 83 3.8 Baza prostora E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.9 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.10 Vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.11 Mje¡soviti produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.12 Vektorsko-vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . 93 3.13 Pravac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.14 Ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.15 Primjene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.15.1 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

barjak	#71
Post: 706 30. Lip 2009. 21:15:10	vektorska algebra i analiticka geometrija 72 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA U ovoj glavi definirat ´cemo pojam vektora, osnovne operacije s vektorima (zbrajanje i mno¡zenje sa skalarom), prikaz vektora u koordinatnom sustavu te produkte vektora s vektorom. Kod ra¡cunanja produkata vektora svoju primjenu nalaze i determinante dimenzije 3×3. Potom ´cemo pomo´cu vektora izvesti jednad¡zbu pravca u prostoru i jednad¡zbu ravnine te objasniti kako ispitujemo medusobne odnose to¡caka, pravaca i ravnina. 3.1 Vektori U ovom poglavlju definirat ´cemo pojmove du¡zine, usmjerene du¡zine i vektora te navesti osnovno svojstvo trodimenzionalnog Euklidskog prostora E. Pretpostavljamo da su pojmovi kao ¡sto su pravac, ravnina, kut i prostor poznati. Definicija 3.1 Du¡zina PQ je skup svih to¡caka pravca kroz to¡cke P i Q koje se nalaze izmedu to¡caka P i Q uklju¡civ¡si i njih. Duljina du¡zine PQ je udaljenost to¡caka P i Q i ozna¡cava se s d(P,Q) ili \|PQ\|. Usmjerena du¡zina −−→ PQ je du¡zina kod koje su rubne to¡cke uredene, odnosno to¡cka P je po¡cetak ili hvati¡ste, a to¡cku Q svr¡setak. Udaljenost to¡caka P i Q se u ovom slu¡caju zove duljina (norma ili intenzitet) usmjerene du¡zine −−→ PQ i ozna¡cava s \|−−→ PQ\|. Usmjerene du¡zine −−→ PQ i −−→ P′Q′ su ekvivalentne, odnosno −−→ PQ ∼ −−→ P′Q′, ako du¡zine P′Q i PQ′ imaju zajedni¡cko polovi¡ste (vidi sliku 3.1) . Vektor je klasa ekvivalencije usmjerenih du¡zina. Vektore ozna¡cavamo s a, b, c, . . . , a, b, c, . . . . Ako je usmjerena du¡zina −−→ PQ predstavnik vektora a, tada je duljina (norma ili intenzitet) vektora a jednaka udaljenosti to¡caka P i Q. Duljinu vektora ozna¡cavamo s \|a\|. Nul-vektor je vektor koji ima po¡cetak i kraj u istoj to¡cki. Nul-vektor ozna¡cavamo s 0, vrijedi \|0\| = 0, a njegovi predstavnici su sve usmjerene du¡zine oblika −−→ PP. Doka¡zimo da je relacija ∼ iz definicije 3.1 zaista relacija ekvivalencije. Prema definiciji 1.4, relacija ekvivalencije je refleksivna, simetri¡cna i tranzitivna. O¡cito je −−→ PQ ∼ −−→ PQ pa je relacija ∼ refleksivna. Takoder, ako je −−→ PQ ∼ −−→ P′Q′, tada je i −−→ P′Q′ ∼ −−→ PQ pa je relacija ∼ simetri¡cna. Dokaz tranzitivnosti je ne¡sto slo¡zeniji. Ukoliko to¡cke P, Q, P′ i Q′ ne le¡ze na istom pravcu,

Stron : Wstecz 1 2 3 4 [5] 6 7 8 . . . 10 Dalej

Nie masz dosyæ przywileji aby odpowiedzieæ w tym forum.