| Stron : Wstecz 1 . . . 4 5 6 [7] 8 9 10 Dalej |
|
barjak
|
#1
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:09:20
|
matematika -tehnicki fakultet
Predgovor
Ova knjiga namijenjena je studentima tehni¡ckih i prirodnih znanosti, a
u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
u Splitu (FESB). U njoj je izlo¡zeno gradivo kolegija ”Matematika 1” po
sadr¡zaju koji se predaje na FESB-u. Obradena su poglavlja Osnove matematike,
Linearna algebra, Vektorska algebra i analiti¡cka geometrija, Funkcije
realne varijable, Derivacije i primjene, te Nizovi i redovi. Sli¡can sadr¡zaj nalazi
se u ve´cini istoimenih kolegija koji se predaju na tehni¡ckim i prirodoslovnim
fakultetima.
Budu´ci se radi o standardnom sadr¡zaju, nije citirana posebna literatura.
Spomenut ´cu samo neke od knjiga koje su utjecale na sadr¡zaj, a koje preporu
¡cujem i ¡citatelju:
D. Blanu¡sa, Vi¡sa matematika, I. dio (1. i 2. svezak), Tehni¡cka knjiga,
Zagreb, 1973.
L. Krni´c i Z. ¡Siki´c, Ra¡cun diferencijalni i integralni, I. dio, ¡Skolska knjiga,
Zagreb, 1992.
N. Ugle¡si´c, Predavanja iz matemati¡cke analize I, Svu¡cili¡ste u Splitu, Split,
1989.
B. P. Demidovi´c, Zadaci i rije¡seni primjeri iz vi¡se matematike, Tehni¡cka
knjiga, Zagreb, 1978.
U izradi ovog ud¡zbenika takoder je kori¡steno iskustvo i zabilje¡ske biv¡sih i
sada¡snjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujem
svoju zahvalnost. Za pa¡zljivo ¡citanje teksta i korisne primjedbe tijekom rada
zahvaljujem se kolegi Marku Mati´cu.
U Splitu, rujna 2002.
|
|
|
barjak
|
#86
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:41:05
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
86 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
S5. a · b = |a| ba, gdje je
ba = |b| cos ∠(a, b)
duljina projekcije vektora b na pravac definiran s vektorom a pomno¡zena
s odgovaraju´cim predznakom prema svojstvu S2 (slika 3.9),
S6. a · b = b · a (komutativnost),
S7. a · (b + c) = a · b + a · c (distributivnost),
S8. (a · b) = (a) · b = a · (b) (homogenost).
a
b
a b
Slika 3.9: Skalarni produkt
U koordinatnom sustavu ra¡cunanje skalarnog produkta je vrlo jednostavno.
Teorem 3.2 Ako je
a = axi + ayj + azk, b = bxi + byj + bzk,
tada je
a · b = axbx + ayby + azbz.
Dokaz. Tvrdnja slijedi iz svojstava S7, S8 i S3.
Ako su vektori a i b zadani kao stup¡cane matrice, iz definicija matri¡cnog
mno¡zenja u poglavlju 2.1.3 i transponirane matrice u poglavlju 2.1.5 slijedi da
skalarni produkt mo¡zemo zapisati i kao
a · b = aTb.
Definicija skalarnog produkta 3.4 i teorem 3.2 omogu´cuju ra¡cunanje kuta
izmedu dva vektora u prostoru pomo´cu formule
cos∠(a, b) =
a · b
|a| |b|
.
|
|
|
barjak
|
#87
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:42:06
|
vektorski produkt
3.10 Vektorski produkt 87
Primjer 3.6 Kosinus kuta izmedu vektora a = {2,−3, 1} i b = {1, 1, 0}
jednak je
cos∠(a, b) =
a · b
|a| |b|
=
2 · 1 − 3 · 1 + 1 · 0
√4 + 9 + 1√1 + 1
= −
1
2√7
.
Na isti na¡cin, kosinus priklonog kuta kojeg vektor a = {x, y, z} zatvara s
vektorom i jednak je
cos∠(a, i) =
a · i
|a| |i|
=
x
px2 + y2 + z2
,
¡cime smo dokazali teorem 3.1.
Zadatak 3.1 Je li trokut △ABC, gdje je A = (1, 3, 1), B = (0, 1, 2) i C =
(1,−1, 0) pravokutan? Je li jednakokra¡can?
3.10 Vektorski produkt
Definicija 3.5 Vektorski produkt vektora a i b je vektor c = a × b takav da
je
|c| = |a| |b| sin ∠(a, b).
Pored toga, ako je |c| > 0, tada je
c ⊥ a ∧ c ⊥ b,
pri ¡cemu uredena trojka vektora (a, b, c) ¡cini desni sustav (slika 3.10).
Vektorski produkt ima sljede´ca svojstva:
V1. a × b = 0 ako je a = 0 ili b = 0 ili ako su vektori a i b kolinearni,
V2. vrijedi
i × i = j × j = k × k = 0,
i × j = k, j × k = i, k × i = j,
j × i = −k, k × j = −i, i × k = −j,
V3. a × b = −b × a (anti-komutativnost),
V4. a × (b + c) = a × b + a × c (distributivnost),
V5. (a × b) = (a) × b = a × (b) (homogenost),
|
|
|
barjak
|
#88
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:42:46
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
88 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
a
b
c
Slika 3.10: Vektorski produkt
a
b
j
sin j |b|
Slika 3.11: Modul vektorskog produkta
V6. norma |a × b| jednaka je povr¡sini paralelograma ¡sto ga razapinju vektori
a i b (slika 3.11).
U pravokutnom koordinatnom sustavu vektorski produkt ra¡cunamo pomo´cu
determinante.
Teorem 3.3 Ako je
a = axi + ayj + azk, b = bxi + byj + bzk,
tada je
a × b = (aybz − azby) i + (azbx − axbz) j + (axby − aybx) k,
|
|
|
barjak
|
#89
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:43:25
|
vektorski produkt
3.10 Vektorski produkt 89
odnosno
a × b =
i j k
ax ay az
bx by bz
.
Dokaz. Tvrdnja slijedi iz svojstava V2, V4 i V5.
Napomena 3.2 Svojstva vektorskog produkta odgovaraju svojstvima determinanti
iz poglavlja 2.9.1:
– prvi dio svojstva V2 odgovara svojstvu D4 koje ka¡ze da je determinanta
s dva jednaka retka jednaka nuli,
– svojstvo V3 odgovara svojstvu D3 koje ka¡ze da zamjenom dvaju redaka
determinanta mijenja predznak,
– svojstva V4 i V5 odgovaraju svojstvu D5.
Definicija vektorskog produkta 3.5 i teorem 3.3 omogu´cuju ra¡cunanje povr¡sine
poligonalnih likova u ravnini.
Primjer 3.7 Izra¡cunajmo povr¡sinu trokuta △ABC zadanog s
A = (1, 2, 3), B = (0,−1, 2), C = (3, 3, 0).
Povr¡sina trokuta jednaka je polovici povr¡sine paralelograma razapetog s vektorima
−−→ AB i −→ AC (slika 3.12). Kako je
−−→ AB = {−1,−3,−1}, −→ AC = {2, 1,−3},
vrijedi
P△ABC =
1
2|−−→ AB × −→ AC| =
1
2
i j k
−1 −3 −1
2 1 −3
=
1
2|i (9 + 1) − j (3 + 2) + k (−1 + 6)| =
1
2
√150 ≈ 6.12.
Uo¡cimo da smo na jednostavan na¡cin rije¡sili nao¡cigled slo¡zeni problem, jer smo
na¡sli povr¡sinu trokuta smje¡stenog u prostoru, a nismo ga morali niti skicirati.
Na isti na¡cin mo¡zemo provjeriti le¡ze li tri to¡cke na pravcu, jer ´ce u tom slu¡caju
povr¡sina trokuta biti nula.
Na sli¡can na¡cin mo¡zemo izra¡cunati povr¡sinu bilo kojeg poligonalnog lika u
prostoru, jer svaki takav lik mo¡zemo podijeliti na trokute.
|
|
|
barjak
|
#90
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:43:56
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
90 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
x
y
A
C
3
1
2 3
B
z
Slika 3.12: Povr¡sina trokuta
Zadatak 3.2 Izra¡cunajte povr¡sinu trokuta iz prethodnog primjera pomo´cu
paralelograma razapetog s vektorima −−→ BA i −−→ BC. Mo¡ze li se zadatak rije¡siti ako
promatramo paralelogram razapet s vektorima −−→ AB i −−→ BC?
3.11 Mje¡soviti produkt
Definicija 3.6 Mje¡soviti produkt ili vektorsko-skalarni produkt vektora a, b i
c je broj
(a × b) · c = |a × b| |c| cos ∠(a × b, c)
= |a| |b| sin ∠(a, b) |c| cos ∠(a × b, c).
Mje¡soviti produkt jednak je volumenu ili negativnoj vrijednosti volumena
paralelopipeda kojeg razapinju vektori a, b i c. Naime,
|a| |b| sin ∠(a, b)
je povr¡sina baze koja je razapeta vektorima a i b, a ako s ozna¡cimo ravninu
baze, tada je
|c| cos ∠(a × b, c) = ±|c| sin ∠(, c),
|
|
|
barjak
|
#91
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:44:54
|
mesovit produkt
3.11 Mje¡soviti produkt 91
¡sto je jednako visini ili negativnoj vrijednosti visine (slika 3.13).
Takoder zaklju¡cujemo da je (a × b) · c = 0 ako i samo ako je barem jedan
od vektora nul-vektor ili ako su vektori komplanarni, odnosno linearno zavisni.
a
b
c v
Slika 3.13: Mje¡soviti produkt
Teorem 3.4 Ako je
a = {ax, ay, az}, b = {bx, by, bz}, c = {cx, cy, cz},
tada je
(a × b) · c =
ax ay az
bx by bz
cx cy cz
Dokaz. Tvrdnja slijedi iz teorema 3.2 i 3.3.
Zadatak 3.3 Koriste´ci teorem 3.4 i svojstvo determinante D3 iz poglavlja
2.9.1 doka¡zite da je
(a × b) · c = (b × c) · a = (c × a) · b = −(a × c) · b
= −(b × a) · c = −(c × b) · a.
Sli¡cno kao ¡sto pomo´cu vektorskog produkta mo¡zemo ra¡cunati povr¡sine
poligonalnih likova (primjer 3.7), tako pomo´cu mje¡sovitog produkta i teorema
3.4 mo¡zemo ra¡cunati volumene svih tijela koja su omedena samo s ravnim
plohama.
Primjer 3.8 Izra¡cunajmo volumen tetraedra ABCD zadanog to¡ckama
A = (0,−1, 0), B = (3, 3, 0), C = (−1, 3, 1), D = (1, 1, 4).
|
|
|
barjak
|
#92
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:45:35
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
92 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
Volumen tetraedra jednak je ¡sestini volumena paralelopipeda razapetog vektorima
−−→ AB, −→ AC i −−→ AD (slika 3.14). Kako je
−−→ AB = {3, 4, 0}, −→ AC = {−1, 4, 1}, −−→ AD = {1, 2, 4},
vrijedi
V =
1
6 |(−−→ AB × −→ AC) · −−→ AD| =
1
6
3 4 0
−1 4 1
1 2 4
=
62
6
Uo¡cimo da smo na jednostavan na¡cin rije¡sili nao¡cigled slo¡zen problem, jer smo
na¡sli volumen tijela, a nismo ga morali niti skicirati. Na isti na¡cin mo¡zemo
provjeriti le¡ze li ¡cetiri to¡cke u istoj ravnini, jer ´ce u tom slu¡caju volumen
tetraedra biti nula. Na sli¡can na¡cin mo¡zemo izra¡cunati volumen bilo kojeg
tijela koje je omedeno samo s ravnim plohama, jer svako takvo tijelo mo¡zemo
podijeliti na tetraedre.
A
B
C
D
x
y
z
3
1
3
1
Slika 3.14: Volumen tetraedra
Zadatak 3.4 Izra¡cunajte volumen tetraedra iz prethodnog primjera pomo´cu
paralelopipeda razapetog s vektorima −−→ BA, −−→ BC i −−→ BD. Moramo li uzeti vektore
s hvati¡stem u istom vrhu?
|
|
|
barjak
|
#93
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:46:53
|
vektorsko-vektorski produk
3.12 Vektorsko-vektorski produkt 93
3.12 Vektorsko-vektorski produkt
Vektorsko-vektorski produkt vektora a, b i c je vektor
(a × b) × c.
Mo¡ze se pokazati da vrijedi
(a × b) × c = b (a · c) − a (b · c), (3.3)
odnosno, rezultiraju´ci vektor le¡zi u ravnini razapetoj s vektorima a i b.
Sli¡cno,
a × (b × c) = b (a · c) − c (a · b), (3.4)
pa rezultiraju´ci vektor le¡zi u ravnini razapetoj s vektorima b i c.
Zadatak 3.5 Doka¡zite formule (3.3) i (3.4) ako su vektori a, b i c zadani kao
u teoremu 3.4.
3.13 Pravac
Pravac p je u prostoru E zadan s dvije razli¡cite to¡cke T1 i T2. Za svaku
to¡cku T koja le¡zi na pravcu p vektori −−→ T1T2 i −−→ T1T su kolinearni, odnosno postoji
t ∈ R takav da je (slika 3.15)
−−→ T1T = t−−→ T1T2.
Uz oznake
s = −−→ T1T2, r1 = −−→ OT1, r = −→ OT,
imamo vektorsku jednad¡zbu pravca
r − r1 = t s, t ∈ R,
odnosno
r = r1 + t s, t ∈ R. (3.5)
Vektor s je vektor smjera pravca p. Za vektor smjera mo¡zemo uzeti i bilo koji
drugi vektor koji je kolinearan s vektorom s.
Neka je u koordinatnom sustavu (O, i, j, k)
s = 

a
b
c

, r1 = 

x1
y1
z1

, r = 

x
y
z

.
|
|
|
barjak
|
#94
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:47:32
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
94 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
r
r
s
T
T
p
1 T
2
1
Slika 3.15: Pravac u prostoru
Tada vektorska jednad¡zba pravca (3.5) prelazi u parametarsku jednad¡zbu pravca


x = x1 + a t
y = y1 + b t
z = z1 + c t
t ∈ R. (3.6)
Eliminacijom parametra t iz jednad¡zbe (3.6) dobivamo kanonsku (simetri
¡cnu) jednad¡zbu pravca
x − x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
. (3.7)
U gornjoj formuli nazivnici ne ozna¡cavaju dijeljenje nego skalarne komponente
vektora smjera pa ih pi¡semo i onda kada su jednaki nula.
Primjer 3.9 Jednad¡zba x-osi glasi


x = t
y = 0
z = 0
t ∈ R,
odnosno
x
1
=
y
0
=
z
0
.
Naime, x-os prolazi ishodi¡stem O = (0, 0, 0), a vektor smjera joj je i = {1, 0, 0}.
No,
x + 5
√2
=
y
0
=
z
0
,
|
|
|
barjak
|
#95
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:48:29
|
pravac
3.13 Pravac 95
je takoder jednad¡zba x-osi.
U formuli (3.7) je zapisan sustav od tri linearne jednad¡zbe s tri nepoznanice,
b (x − x1) = a (y − y1)
c (x − x1) = a (z − z1) (3.8)
c (y − y1) = b (z − z1).
Ove jednad¡zbe definiraju pravac pa sustav ima jednoparametarsko rje¡senje.
Stoga su prema Kronecker-Capellijevom teoremu 2.5 jednad¡zbe linearno zavisne,
a sustav je ekvivalentan sustavu od dvije linearno nezavisne jednad¡zbe
koje odaberemo medu njima.
Dakle, pravac mo¡zemo zadati s dvije linearno nezavisne jednad¡zbe s tri
nepoznanice,
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0, (3.9)
od kojih svaka predstavlja jednu ravninu u prostoru (poglavlje 3.14). Iz sustava
(3.9) eliminacijom jedne od varijabli dobijemo kanonsku jednad¡zbu (3.7), iz
koje onda lako dobijemo parametarsku jednad¡zbu pravca (3.6).
Primjer 3.10 Nadimo kanonsku i parametarsku jednad¡zbu pravca zadanog
s (slika 3.16)
2x + y + z + 1 = 0
x − y + 2z − 1 = 0.
Kad od prve jednad¡zbe oduzmemo dvostruku drugu dobijemo 3y−3z+3 = 0,
odnosno
y + 1
1
=
z
1
ili
y
1
=
z − 1
1
.
Kada zbrojimo prvu i drugu jednad¡zbu dobijemo 3x + 3z = 0, odnosno
x
1
=
z
−1
ili
x
−1
=
z
1
.
Stoga kanonska jednad¡zba pravca glasi
x
−1
=
y + 1
1
=
z
1
.
Pravac prolazi to¡ckom T = (0,−1, 0) i ima vektor smjera s = {−1, 1, 1}.
Parametarska jednad¡zba glasi


x = −t
y = −1 + t
z = t
t ∈ R.
|
|
|
barjak
|
#96
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:49:09
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
96 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
-2*x-y-1
(-x+y+1)/2
-3 -2 -1 0 1 2 3
x -3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
0
3
z
p
Slika 3.16: Pravac kao presjek ravnina
Primjer 3.11 Ako pravac p le¡zi u x-y ravnini, tada svi izrazi koji sadr¡ze
varijablu z u (3.6), (3.7) i (3.8) nestaju. Posebno, (3.8) prelazi u
b (x − x1) = a (y − y1).
Ako je a 6= 0, imamo
y − y1 =
b
a
(x − x1).
Ozna¡cimo li koeficijent smjera s k = b
a , dobijemo jednad¡zbu pravaca kroz
to¡cku T1 = (x1, y1) s koeficijentom smjera k,
y − y1 = k (x − x1).
Ako odaberemo to¡cku T1 = (0, l), pri ¡cemu je l odsje¡cak na y-osi, dobijemo
poznatu jednad¡zbu
y = k x + l.
3.14 Ravnina
Ravnina je u prostoru E zadana s tri to¡cke T1, T2 i T3 koje ne le¡ze na
istom pravcu. Za svaku to¡cku T koja le¡zi u ravnini vektori −−→ T1T, −−→ T1T2 i −−→ T1T3
su komplanarni (slika 3.17). Stoga je volumen paralelopipeda ¡sto ga razapinju
ti vektori jednak nula (primjer 3.8), odnosno
−−→ T1T · (−−→ T1T2 × −−→ T1T3) = 0. (3.10)
|
|
|
barjak
|
#97
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:49:57
|
ravnina
3.14 Ravnina 97
Uz oznake
r1 = −−→ OT1, r = −→ OT, n = −−→ T1T2 × −−→ T1T3,
jednad¡zba (3.10) prelazi u vektorsku jednad¡zbu ravnine
(r − r1) · n = 0. (3.11)
Vektor n je normalni vektor ili normala ravnine . Svaki vektor kolinearan s
n je takoder normala ravnine .
r T
T
T
T
r
n
2
3
1 r1
Slika 3.17: Ravnina u prostoru
Ako je u koordinatnom sustavu (O, i, j, k)
n = {A,B,C}, r1 = {x1, y1, z1}, r = {x, y, z},
tada vektorska jednad¡zba ravnine (3.11) prelazi u jednad¡zbu ravnine kroz to¡cku
T1 = (x1, y1, z1),
A(x − x1) + B(y − y1) + C(z − z1) = 0. (3.12)
Sredivanje gornje jednad¡zbe daje op´ci oblik jednad¡zbe ravnine
Ax + By + Cz + D = 0. (3.13)
|
|
|
barjak
|
#98
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:50:44
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
98 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
U obje jednad¡zbe (3.12) i (3.13) brojevi A, B i C su skalarne komponente
vektora normale n.
Ako je
T = (x, y, z), Ti = (xi, yi, zi), i = 1, 2, 3,
tada jednad¡zbu (3.10) mo¡zemo zapisati pomo´cu determinante. To nam daje
jednad¡zbu ravnine kroz tri to¡cke,
x − x1 y − y1 z − z1
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
= 0. (3.14)
Zadatak 3.6 Poka¡zite da je jednad¡zba (3.14) ekvivalentna s
x y z 1
x1 y1 z1 1
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
= 0.
Ako ravnina ne prolazi ishodi¡stem i ako za to¡cke T1, T2 i T3 odaberemo
sjeci¡sta ravnine s koordinatnim osima,
T1 = (a, 0, 0), T2 = (0, b, 0), T3 = (0, 0, c), a, b, c 6= 0,
tada iz (3.14) rje¡savanjem determinante
x − a y z
−a b 0
−a 0 c
= 0
dobijemo segmentni oblik jednad¡zbe ravnine
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1, a, b, c 6= 0.
3.15 Primjene
Pomo´cu vektora i operacija s njima te pomo´cu raznih oblika jednad¡zbi
pravca i ravnine mo¡zemo ispitivati ¡citav niz meduodnosa i svojstava:
a) Medusobni odnosi pravaca i ravnina.
1. Pravci p1 i p2 su paralelni, p1 k p2, ako za njihove vektore smjera vrijedi
s1 = t s2, t ∈ R. Paralelni pravci mogu, ali ne moraju le¡zati jedan na
drugom.
|
|
|
barjak
|
#99
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:51:27
|
primene
3.15 Primjene 99
2. Pravci p1 i p2 su okomiti, p1 ⊥ p2, ako za njihove vektore smjera vrijedi
s1 · s2 = 0. Okomiti pravci se mogu sje´ci, ali mogu biti i mimosmjerni.
3. Ravnine 1 i 2 su paralelne, 1 k 2, ako za njihove normale vrijedi
n1 = t n2, t ∈ R. Paralelne ravnine mogu, ali ne moraju le¡zati jedna na
drugoj.
4. Ravnine 1 i 2 su okomite, 1 ⊥ 2, ako za njihove normale vrijedi
n1 · n2 = 0. Okomite ravnine se sijeku u pravcu.
5. Kut izmedu pravaca p1 i p2 nalazimo pomo´cu skalarnog produkta vektora
smjera,
cos∠(p1, p2) =
s1 · s2
|s1| |s2|
.
6. Kut izmedu ravnina 1 i 2 nalazimo pomo´cu skalranog produkta normala,
cos∠(1, 2) =
n1 · n2
|n1| |n2|
.
7. Kut izmedu pravca p i ravnine nalazimo pomo´cu skalranog produkta
vektora smjera i normale
sin∠(p, ) =
s · n
|s| |n|
.
b) Sjeci¡sta.
1. To¡cka T u kojoj se sijeku pravci p1 i p2, T = p1 ∩ p2.
2. Pravac p koji je presjek ravnina 1 i 2, p = 1 ∩ 2.
3. To¡cka T u kojoj pravac p sije¡ce ravninu , T = p ∩ : sjeci¡ste tra¡zimo
tako da parametarsku jednad¡zbu pravca uvrstimo u op´ci oblik jednad¡zbe
ravnine i rije¡simo linearni sustav od jedne jednad¡zbe s jednom nepoznanicom
(primjer 3.12).
c) Projekcije.
1. Projekcija to¡cke T na pravac p (primjer 3.13).
2. Projekcija to¡cke T na ravninu (primjer 3.14).
3. Projekcija pravca p na ravninu .
Naj¡ce¡s´ce tra¡zimo ortogonalne projekcije, ali mo¡zemo tra¡ziti i projekcije u
bilo kojem smjeru.
d) Udaljenosti.
|
|
| Stron : Wstecz 1 . . . 4 5 6 [7] 8 9 10 Dalej |
|
Nie masz dosyæ przywileji aby odpowiedzieæ w tym forum.
|
