| Stron : Wstecz 1 . . . 5 6 7 [8] 9 10 Dalej |
|
barjak
|
#1
|
Post: 706
30. Lip 2009. 10:09:20
|
matematika -tehnicki fakultet
Predgovor
Ova knjiga namijenjena je studentima tehni¡ckih i prirodnih znanosti, a
u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
u Splitu (FESB). U njoj je izlo¡zeno gradivo kolegija ”Matematika 1” po
sadr¡zaju koji se predaje na FESB-u. Obradena su poglavlja Osnove matematike,
Linearna algebra, Vektorska algebra i analiti¡cka geometrija, Funkcije
realne varijable, Derivacije i primjene, te Nizovi i redovi. Sli¡can sadr¡zaj nalazi
se u ve´cini istoimenih kolegija koji se predaju na tehni¡ckim i prirodoslovnim
fakultetima.
Budu´ci se radi o standardnom sadr¡zaju, nije citirana posebna literatura.
Spomenut ´cu samo neke od knjiga koje su utjecale na sadr¡zaj, a koje preporu
¡cujem i ¡citatelju:
D. Blanu¡sa, Vi¡sa matematika, I. dio (1. i 2. svezak), Tehni¡cka knjiga,
Zagreb, 1973.
L. Krni´c i Z. ¡Siki´c, Ra¡cun diferencijalni i integralni, I. dio, ¡Skolska knjiga,
Zagreb, 1992.
N. Ugle¡si´c, Predavanja iz matemati¡cke analize I, Svu¡cili¡ste u Splitu, Split,
1989.
B. P. Demidovi´c, Zadaci i rije¡seni primjeri iz vi¡se matematike, Tehni¡cka
knjiga, Zagreb, 1978.
U izradi ovog ud¡zbenika takoder je kori¡steno iskustvo i zabilje¡ske biv¡sih i
sada¡snjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujem
svoju zahvalnost. Za pa¡zljivo ¡citanje teksta i korisne primjedbe tijekom rada
zahvaljujem se kolegi Marku Mati´cu.
U Splitu, rujna 2002.
|
|
|
barjak
|
#100
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:52:16
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
100 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
1. Udaljenost to¡caka T1 = (x1, y1, z1) i T2 = (x2, y2, z2): iz postupka
nala¡zenja komponenata vektora u primjeru 3.2 i formule za duljinu vektora
(3.1) slijedi
d(T1, T2) = |−−→ T1T2| = p(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.
2. Udaljenost to¡cke T od pravca p: prvo nademo projekciju T′ to¡cke T na
pravac p, a onda izra¡cunamo d(T, p) = |−−→ TT′| (primjer 3.13).
3. Udaljenost to¡cke T od ravnine : prvo nademo projekciju T′ to¡cke T na
ravninu , a onda izra¡cunamo d(T, ) = |−−→ TT′| (primjer 3.14).
4. Udaljenost pravaca p1 i p2, d(p1, p2).
5. Udaljenost ravnina 1 i 2, d(1, 2).
6. Udaljenost pravca p i ravnine , d(p, ).
e) Analiza trokuta.
1. Te¡zi¡ste – sjeci¡ste te¡zi¡snica, odnosno pravaca koji spajaju vrh trokuta sa
sredinom nasuprotne stranice.
2. Upisana kru¡znica – sredi¡ste je sjeci¡ste simetrala kutova, odnosno pravaca
koji raspolovljuju unutarnje kutove trokuta, a radijus je udaljenost
sredi¡sta od bilo koje stranice.
3. Opisana kru¡znica – sredi¡ste je sjeci¡ste simetrala stranica, odnosno okomica
podignutih od sredine stranice trokuta, a radijus je udaljenost
sredi¡sta od bilo kojeg vrha.
4. Ortocentar – sjeci¡ste visina, odnosno okomica spu¡stenih iz vrha trokuta
na nasuprotnu stranicu.
f) Povr¡sine i volumeni.
1. Povr¡sina poligonalnih likova u prostoru – lik rastavljamo na trokute, a
povr¡sine trokuta ra¡cunamo pomo´cu vektorskog produkta kao u primjeru
3.7.
2. Volumeni tijela omedenih samo s ravnim plohama – tijelo rastavljamo na
tetraedre, a povr¡sine tetraedara ra¡cunamo pomo´cu mje¡sovitog produkta
kao u primjeru 3.8.
Postupci za ispitivanje ovih meduodnosa i svojstava detaljno su opisani u
vje¡zbama.
|
|
|
barjak
|
#101
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:53:07
|
primene
3.15 Primjene 101
3.15.1 Primjeri
Sljede´ci primjeri ilustriraju nala¡zenje sjeci¡sta pravca i ravnine, projekcije
to¡cke na pravac i udaljenosti to¡cke od pravca te projekcije to¡cke na ravninu i
udaljenosti to¡cke od ravnine.
Primjer 3.12 Odredimo to¡cku T u kojoj se sijeku pravac
p . . .
x − 1
−1
=
y − 3
2
=
z − 2
3
i ravnina zadana s x+2y +z −3 = 0. Parametarska jednad¡zba pravca glasi


x = 1 − t
y = 3 + 2t
z = 2 + 3t
t ∈ R.
Uvr¡stavanje u jednad¡zbu ravnine daje
1 − t + 2(3 + 2t) + 2 + 3t − 3 = 0,
odnosno t = −1. Uvr¡stavanje ove vrijednosti t u parametarsku jednad¡zbu
pravca daje x = 2, y = 1 i z = −1 pa je tra¡zena to¡cka T jednaka (slika 3.18)
p ∩ = T = (2, 1,−1).
Primjer 3.13 Odredimo projekciju T′ to¡cke T = (4, 4, 5) na pravac
p . . .
x − 4
1
=
y − 6
2
=
z + 1
−1
i udaljenost to¡cke T od pravca p.
Za odredivanje projekcije odredit ´cemo pomo´cnu ravninu koja prolazi
to¡ckom T, a okomita je na pravac p. To¡cka T′ je sjeci¡ste pravca p i ravnine
(slika 3.19).
Normala ravnine jednaka je vektoru smjera pravca p,
n = s = {1, 2,−1}.
Ravnina prolazi to¡ckom T pa formula (3.12) daje
x − 4 + 2(y − 4) − (z − 5) = 0.
Nadimo sjeci¡ste pravca i ravnine kao u primjeru 3.12: parametarska jednad¡zba
pravca p glasi


x = 4 + t
y = 6 + 2t
z = −1 − t
t ∈ R
|
|
|
barjak
|
#102
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:53:57
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
102 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
r
p
x
y
z
T
1
2
Slika 3.18: Sjeci¡ste pravca i ravnine
pa uvr¡stavanje u jednad¡zbu ravnine daje t = −5
3 . Uvr¡stavanje t u parametarsku
jednad¡zbu pravca daje
T′ = 7
3
,
8
3
,
2
3.
Kona¡cno,
d(T, p) = |−−→ TT′| = s7
3 − 42
+ 8
3 − 42
+ 2
3 − 52
=
√210
3 ≈ 4.83.
Primjer 3.14 Odredimo projekciju T′ to¡cke T = (4, 4, 5) na ravninu
. . . 3x + 6y + 2z − 6 = 0
i udaljenost to¡cke T od ravnine .
Prvo ´cemo na´ci pomo´cni pravac p koji prolazi to¡ckom T, a okomit je na
ravninu . To¡cka T′ je tada sjeci¡ste pravca i ravnine (slika 3.20).
Vektor smjera pravca p jednak je normali ravnine ,
s = n = {3, 6, 2}.
|
|
|
barjak
|
#103
|
Post: 706
31. Lip 2009. 08:54:50
|
primene
3.15 Primjene 103
x
y
z
4
T’
8/3
r
n=s
T
p
4
7/3
d(T,p)
Slika 3.19: Projekcija to¡cke na pravac
Pravac prolazi to¡ckom T pa njegova parametarska jednad¡zba glasi


x = 4 + 3t
y = 4 + 6t
z = 5 + 2t
t ∈ R.
Sli¡cno kao u prethodnom primjeru, uvr¡stavanje u jednad¡zbu ravnine daje t =
−40
49 , odnosno
T′ = 76
49
, −44
49
,
165
49 ≈ (1.55,−0.9, 3.37).
Kona¡cno
d(T, ) = |−−→ TT′| =
280
49 ≈ 5.71.
|
|
|
barjak
|
#104
|
Post: 706
31. Lip 2009. 22:31:37
|
funkcije realne varijable
4.
FUNKCIJE REALNE
VARIJABLE
4.1 Na¡cini zadavanja funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.1 Tabli¡cno zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.2 Eksplicitno zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.3 Implicitno zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1.4 Parametarsko zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2 Klasifikacija funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.1 Svojstva limesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.2 Limes slijeva i zdesna . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.3 Limes u beskona¡cnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3.4 Beskona¡can limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4 Neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4.1 Svojstva neprekidnih funkcija . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.2 Vrste prekida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5 Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.6 Pregled elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.1 Konstantna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.2 Potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.6.3 Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6.4 Logaritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.6.5 Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.6.6 Arkus funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.6.7 Klasifikacija elementarnih funkcija . . . . . . . . . . 153
4.6.8 Polinomi i racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . 154
4.6.9 Hiperbolne i area funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 156
|
|
|
barjak
|
#105
|
Post: 706
31. Lip 2009. 22:43:51
|
funkcije realne varijable
106 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
Ova glava kao i sljede´ca o derivacijama, posve´cene su ispitivanju realnih
funkcija realne varijable, dakle funkcije kod kojih su domena, i kodomena
podskupovi skupa realnih brojeva. Posebno ´cemo promatrati tipove funkcija
koje se javljaju u tehni¡ckim primjenama, a to su funkcije oblika
f : D → K, D,K ⊆ R,
pri ¡cemu D ozna¡cava domenu, a K kodomenu funkcije (vidi definiciju 1.7). Za
ispitivanje funkcije potrebno je znati:
– podru¡cje definicije ili domenu,
– podru¡cje vrijednosti ili kodomenu,
– podru¡cje neprekidnosti,
– pona¡sanje funkcije u rubovima podru¡cja definicije, uklju¡cuju´ci ∞ i −∞
kad god to ima smisla te u to¡ckama prekida (limesi i asimptote),
– simetriju (parnost ili neparnost),
– periodi¡cnost,
– podru¡cja monotonosti (rastu´ca ili padaju´ca funkcija),
– zakrivljenost (konveksnost ili konkavnost) i to¡cke infleksije, odnosno
to¡cke u kojima dolazi do promjene zakrivljenosti,
– ekstreme, odnosno lokalne i globalne minimume i maksimume,
– skicirati funkciju,
– odrediti inverznu funkciju ukoliko je zadana funkcija bijekcija.
Derivacije, koje su tema sljede´ce glave, koriste se kod nala¡zenja limesa te
kod ispitivanja monotonosti, zakrivljenosti i ekstrema.
Graf funkcije op´cenito mo¡zemo definirati kao prikaz ovisnosti varijabli x i
y pomo´cu krivulje u ravnini. Kako je svakoj funkciji jednozna¡cno pridru¡zen
njen graf, to u daljnjem izlaganju ¡cesto ne´cemo praviti razliku izmedu funkcije
i njenog grafa, ukoliko je iz konteksta jasno na ¡sto se misli. Precizne definicije
grafa funkcije ovise o na¡cinu zadavanja funkcije pa ´cemo ih navesti kasnije u
odgovaraju´cim poglavljima.
U sljede´cim poglavljima opisat ´cemo na¡cine zadavanja funkcija, te dati
klasifikaciju funkcija, odnosno definirati neke va¡zne klase funkcija. Zatim ´cemo
opisati pojam limesa te pomo´cu njega uvesti pojam neprekidnosti i opisati
vrste prekida. Takoder ´cemo navesti i svojstva limesa i neprekidnih funkcija.
Potom ´cemo definirati pojam asimptote i opisati kako ih nalazimo, a na kraju
´cemo dati pregled elementarnih funkcija i njihovih svojstava.
|
|
|
barjak
|
#106
|
Post: 706
31. Lip 2009. 22:45:04
|
zadavanja funkcija
4.1 Na¡cini zadavanja funkcija 107
4.1 Na¡cini zadavanja funkcija
Funkciju mo¡zemo zadati tabli¡cno, eksplicitno, implicitno i parametarski.
4.1.1 Tabli¡cno zadavanje
Tabli¡cno zadavanje funkcija je ¡cesto u primjenama, jer se vrijednost zavisne
varijable mo¡ze izmjeriti samo u nekim to¡ckama. Tako se na primjer
temperatura ili tlak zraka mjeri su meteorolo¡skim stanicama, a kod prikaza se
u meteorolo¡skim kartama te vrijednosti interpoliraju glatkim krivuljama.
Funkcija zadana s
x 0 1 3 4 5 8
y = f(x) -1 1 3 5 7 6
prikazana je na slici 4.1.
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8
Slika 4.1: Tabli¡cno zadana funkcija
Graf tabli¡cno zadane funkcije je skup to¡caka u ravini, S ⊂ R2, definiran s
S = {(x, y) : y = f(x)}.
Za odredivanje vrijednosti funkcije u ostalim to¡ckama koristimo postupak
interpolacije. Najjednostavnija je linearna interpolacija kod koje se vrijednosti
|
|
|
barjak
|
#107
|
Post: 706
31. Lip 2009. 22:45:55
|
funkcije realne varijable
108 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
funkcije izmedu dvije susjedne to¡cke grafa prikazuju kao da le¡ze na pravcu
izmedu te dvije to¡cke. Dakle, za x ∈ (xi, xi+1) se uzima (vidi primjer 3.11)
f(x) = y = yi +
yi+1 − yi
xi+1 − xi
(x − xi).
Tako je, na primjer (slika 4.2),
f(2.6) = y(1) +
y(3) − y(1)
3 − 1
(2.6 − 1) = 2.6
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8
Slika 4.2: Linearna interpolacija
Va¡zan primjer tabli¡cno zadanih funkcija su i logaritamske tablice. U tablicama
su zadane vrijednosti elementarnih funkcija kao sin x, cos x, log x, ln x i
ex u odredenim to¡ckama, dok se vrijednosti funkcija u ostalim to¡ckama nalaze
odgovaraju´com interpolacijom.
4.1.2 Eksplicitno zadavanje
Eksplicitno se funkcija zadaje pomo´cu pravila
y = f(x),
gdje je f(x) izraz koji sadr¡zi samo nezavisnu varijablu x. Dakle, eksplicitno
zadana funkcija je preslikavanje f : D → K pri ¡cemu su domena D i kodomena
|
|
|
barjak
|
#108
|
Post: 706
31. Lip 2009. 22:46:55
|
4.1 Na¡cini zadavanja funkcija 109
K podskupovi skupa R. Domena je skup svih vrijednosti nezavisne varijable
x za koje izraz f(x) ima smisla (definicija 1.7). Pri tome jednoj vrijednosti
nezavisne varijable x ∈ D odgovara samo jedna vrijednost zavisne varijable y.
Graf eksplicitno zadane funkcije je krivulja u ravini,
|
|
|
barjak
|
#109
|
Post: 706
31. Lip 2009. 22:47:52
|
funkcije realne varijable
110 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
Da x mora biti razli¡cit od nule slijedi i iz formule (4.1) jer uvr¡stavanje nule
daje
2
= arccos 0 = −0,
¡sto je nemogu´ce.
Zaklju¡cimo: funkcija x + arccos(xy) = 0 definirana je za x ∈ [−, 0) i na
tom intervalu poprima iste vrijednosti kao eksplicitno zadana funkcija y =
cos(x)/x (vidi sliku 4.3). Sama funkcija y = cos(x)/x definirana je na ve´cem
podru¡cju, x ∈ R {0} (slika 4.4).
-10
-5
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
Slika 4.3: Implicitno zadana funkcija x + arccos(xy) = 0
Za razliku od prethodnog primjera, izrazom F(x, y) = 0 mo¡ze biti zadano
vi¡se eksplicitno zadanih funkcija. U tom slu¡caju jednoj vrijednosti varijable x
mo¡ze odgovarati vi¡se vrijednosti varijable y.
Primjer 4.1 [Kru¡znica] Izrazom
x2 + (y − 1)2 − 4 = 0
implicitno je zadana kru¡znica sa sredi¡stem u to¡cki (0, 1) radijusa 2. Na primjer,
ovim izrazom eksplicitno su zadane dvije osnovne funkcije, y1(x) i y2(x), od
kojih svaka predstavlja jednu polukru¡znicu. Zaista, jednad¡zba
(y − 1)2 = 4 − x2
povla¡ci
y − 1 = p4 − x2 ili y − 1 = −p4 − x2,
|
|
|
barjak
|
#110
|
Post: 706
31. Lip 2009. 22:49:13
|
na cini zadavanja funkcija
4.1 Na¡cini zadavanja funkcija 111
-10
-5
5
10
-10 -5 5 10
Slika 4.4: Funkcija y = cos(x)/x
odnosno
y1 = 1 +p4 − x2 i y2 = 1 −p4 − x2.
Kako izraz pod korijenom mora bit ve´ci ili jednak nuli, domene su D1 = D2 =
[−2, 2] (slika 4.5).
Napomena 4.1 Op´cenito, izraz
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2
je implicitna jednad¡zba kru¡znice radijusa r sa sredi¡stem u to¡cki (x0, y0).
Implicitno zadane funkcije ¡cesto nije mogu´ce svesti na eksplicitni oblik.
Primjer 4.2 Descartesov list je krivulja zadana s izrazom
x3 + y3 − 3xy = 0.
Premda funkciju (slika 4.6) nije mogu´ce jednostavno rastaviti na eksplicitno
zadane funkcije kao u primjeru 4.1, mo¡zemo je analizirati u parametarskom
obliku (primjeri 4.4 i 4.12).
|
|
|
barjak
|
#111
|
Post: 706
31. Lip 2009. 22:49:58
|
funkcije realne varijable
112 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2
1+sqrt(4-x**2)
1-sqrt(4-x**2)
Slika 4.5: Implicitno zadana kru¡znica
4.1.4 Parametarsko zadavanje
Funkcija se zadaje parametarski tako da se x i y zadaju kao funkcije parametra
t,
x = ’(t)
y = (t), t ∈ T ⊆ R.
Graf parametarski zadane funkcije je krivulja u ravini,
|
|
|
barjak
|
#112
|
Post: 706
31. Lip 2009. 22:50:52
|
na cini zadavanja funkcija
4.1 Na¡cini zadavanja funkcija 113
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Slika 4.6: Descartesov list
Primjer 4.3 Cikloida je krivulja koju opisuje fiksna to¡cka kru¡znice kada se
ta kru¡znica kotrlja bez klizanja po pravcu. Parametarska jednad¡zba cikloide
glasi (slika 4.7)
x = r(t − sin t)
y = r(1 − cos t), t ∈ R.
r
r 2*r*pi
Slika 4.7: Cikloida
Zadatak 4.2 (a) Epicikloida je krivulja koju opisuje to¡cka na kru¡znici kada
se ta kru¡znica bez klizanja kotrlja po vanjskom rubu druge kru¡znice. Hipocikloida
je krivulja koju opisuje to¡cka na kru¡znici kada se ta kru¡znica
|
|
|
barjak
|
#113
|
Post: 706
31. Lip 2009. 22:51:46
|
funkcije realne varijable
114 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
bez klizanja kotrlja po unutra¡snjem rubu druge kru¡znice. Nadite jednad
¡zbe epicikloide i hipocikloide u matemati¡ckom priru¡cniku i nacrtajte
te krivulje pomo´cu programa NetPlot.
(b) Izvedite implicitnu jednad¡zbu cikloide:
x +p2ry − y2 − r arccos r − y
r = 0.
© Kako glasi jednad¡zba cikloide koja polazi iz to¡cke (1, 0)? Provjerite rje¡senje
pomo´cu programa NetPlot.
Primjer 4.4 Izvedimo parametarsku jednad¡zbu Descartesovog lista iz primjera
4.2. Iz jednad¡zbe
x3 + y3 − 3xy = 0
vidimo da krivulja prolazi kroz to¡cku (0, 0). Ako je x, y 6= 0, tada jednad¡zbu
mo¡zemo podijeliti s y3 ¡sto daje
x3
y3 + 1 − 3
x
y ·
1
y
= 0.
Uvedimo novu varijablu
t =
x
y
¡sto daje
t3 + 1 − 3t
1
y
= 0.
Dakle,
y =
3 t
t3 + 1
,
x = ty =
3 t2
t3 + 1
, t ∈ R {−1}.
Zadatak 4.3 Koje dijelove Descartesovog lista na slici 4.6 dobijemo kada
parametar t poprima vrijednosti u intervalima (−∞,−1), (−1, 0), [0, 1) i
[1,∞)? Kod rje¡savanja zadatka mo¡zete koristiti program NetPlot.
U ovoj i sljede´coj glavi vidjet ´cemo da su najbolje razvijeni teoretski rezultati
za analiziranje eksplicitno zadanih funkcija, dok se implicitno i parametarski
zadane funkcije analiziraju pomo´cu odgovaraju´cih prilagodbi tih rezultata.
Stoga je kod ispitivanja parametarski zadanih funkcija va¡zno znati kada je i
na kojem podru¡cju s x i y eksplicitno zadana funkcija y = f(x) ili x = g(y).
Pri tome je va¡zno uo¡citi da su kod parametarski zadanih funkcija varijable
x i y ravnopravne. Sljede´ci teorem nam daje uvjete za postojanje funkcije
y = f(x), dok se analogni teorem za slu¡caj funkcije x = g(y) dobije zamjenom
varijabli.
|
|
| Stron : Wstecz 1 . . . 5 6 7 [8] 9 10 Dalej |
|
Nie masz dosyæ przywileji aby odpowiedzieæ w tym forum.
|
